Wojewódzki Konkurs Matematyczny ZADANIA ZAMKNIĘTE

Wojewódzki Konkurs Matematyczny
dla uczniów gimnazjów. Etap Szkolny
24 listopada 2016
Rozwiązania zadań z punktacją
ZADANIA ZAMKNIĘTE
Zadanie
1. √(1 punkt)
Pole koła κ1 wynosi P1 = 20 cm2 . Ile wynosi pole P2 koła κ2 , jeżeli jest
√
√
3
−3
10√ · 10000
√
równe (169−
koła P1 .
2−1)·( 8+2)+2
A 40
B 25
C 30
D 20
E 15
Zadanie 2. (1 punkt) Liczba nazywa się trójkątną jeżeli można ją przedstawić w postaci połowy
iloczynu dwóch kolejnych liczb naturalnych. Która z podanych liczb jest liczbą trójkątną?
A −6
B 21
C 24
D 12
E 50
Zadanie 3. (1 punkt) Na rysunku przedstawiono prostopadłościenną paczkę, którą obwiązuje się sznurkiem w sposób zaznaczony przerywaną linią. Na obwiązanie paczki potrzeba co
najmniej 300 cm sznurka.
Długość sznurka wyrażona za pomocą a, b, c potrzebnego do obwiązania paczki przedstawia
wyrażenie:
A 2a + 6b + 6c ¬ 300 cm
B 4a + 4b + 4c ­ 300 cm
D 6a + 4b + 6c ­ 300 cm
E 4a + 6b + 6c ­ 300 cm
1
C a · b · c ­ 300 cm
Zadanie 4. (1 punkt) Która z figur ma największe pole:
A kwadrat o boku 3,5 cm
B koło o promieniu 2 cm
D trójkąt o bokach 5 cm, 5 cm i 6 cm
C pólkole o promieniu 3 cm
E prostokąt o bokach 3 cm i 4 cm
Zadanie 5. (1 punkt) Ile jest liczb czterocyfrowych postaci a87b podzielnych przez 3 i 5 (litery
a i b zastępują nieznane cyfry).
A 3
B 4
C 5
D 6
E 7
Zadanie 6. (1 punkt) Za cztery bułki z wiśnią trzeba zapłacić tyle samo ile za pięć bułek z
budyniem. O ile procent bułka z budyniem jest droższa lub tańsza od bułki z wiśnią?
A droższa o 25%
B tańsza o 25%
D tańsza o 20%
E droższa o 50%
C droższa o 20%
Zadanie 7. (1 punkt) Sześciokąt foremny jest wpisany w prostokąt w ten sposób, że dwa boki
sześciokąta należą do równoległych, dłuższych boków prostokąta, a dwa wierzchołki sześciokąta
należą do dwóch pozostałych boków prostokąta. Stosunek pola prostokąta do pola sześciokąta
wynosi:
A 2
B
4
3
C
5
4
D
1
3
E
3
2
Zadanie 8. (1 punkt) Po sprawdzeniiu 20 z 30 klasówek średnia ocen wynosiła 4,5. Ile może
wynosić maksymalna średnia tej klasówki?
A 4,75
B 4,9
C 5
D 5,3
E 5,5
Zadanie 9. Proste k i l na rysunku są równoległe, a miary kątów α i β są w stosunku 2 : 1.
Prosta s jest dwusieczną kąta α. Kąt γ zaznaczony na rysunku ma miarę:
A 20o
B 30o
C 36o
D 45o
E 60o
Zadanie 10. (1 punkt) Ile z podanych poniżej stwierdzeń jest prawdziwe?
a) 39 :
A zero
1
= 13
3
B jedno
b) 5% = 0, 5
c)
C dwa
1
1
<
13
15
d) 0, 3 · 0, 2 = 0, 6
D trzy
2
E cztery
ZADANIA OTWARTE
Zadanie 11. (4 punkty) W naczyniu A znajdują się 3 litry 30% solanki, w naczyniu B - 7 litrów
10% solanki. Z naczynia A przelano do naczynia B jeden litr solanki, dokładnie wymieszano , a
następnie po dokładnym wymieszaniu z naczynia B przelano z powrotem do naczynia A 2 lirty
solanki. Jaka jest teraz procentowość solanek w naczyniu A i naczyniu B?
Rozwiązanie
W naczyniu A w 3 litrach 30% solanki znajduje się 0,9 litra soli. W jednym litrze solanki
znajduje się 0,3 litra soli. W naczyniu B w 7 l 10%solanki znajduje się 0,7 litra soli. Po przelaniu
1 litra solanki z naczynia A do naczynia B, w n aczyniu B znajdzie się 8 litrów solanki w tym
0,3 + 0,7 = 1 litra soli. Procentowość solanki w naczyniu B wynosi więc
pB =
1
· 100% = 12, 5%
8
Po przelaniu z naczynia B do naczynia A 2 litrów 12,5% solanki w naczyniu A będzie 4 litry
solanki w tym 0,25 + 0,6=0,85 litra soli. Procentowość w naczyniu A wynosi
pA =
0, 85
· 100% = 21, 25%
4
Punktacja
Obliczenie procentowości w naczyniu B po przelaniu z nazczynia A - 2 punkty
Obliczenie procentowości w naczyniu A po przelaniu z nazczynia B - 2 punkty
Nieistotne dla sposobu rozwiązania błędy rachunkowe można pominąć.
3
Zadanie 12. (4 punkty) Wykaż, że różnica każdych dwóch liczb trzycyfrowych, w których
występują te same cyfry jest podzielna przez 3.
Trzycyfrową liczbę można zapisać jako a · 100 + b · 10 + c. Po zamianie cyfr liczba może być
przedstawiona jako:
• a · 100 + c · 10 + b
• b · 100 + a · 10 + c
• b · 100 + c · 10 + a
• c · 100 + b · 10 + a
• c · 100 + a · 10 + b
Przy badaniu różnicy dwóch z powyżej wymienionych liczb można ograniczyc się do dwóch
przypadków:
- gdy w obu odejmowanych liczbach położenie cyfr jest różne,
- gdy liczby różnią się położeniem dwóch cyfr.
Badając różnicę w pierwszym przypadku otrzymujemy:
(a·100+b·10+c)−(b·100+c·10+a) = a·(100−1)+b·(10−100)+c·(1−10) = 99·a−90·b−9·c
Różnicę tę można przedstawić jako
9 · (11a − 10b − c)
Jest to liczba podzielna przez 3. W drugim przypadku można obliczyć różnicę liczb różniących się np. drugą i trzecią cyfrą, obliczenia w pozostałych przypadkach przebiegają w ten sam
sposób.
(a · 100 + b · 10 + c) − (a · 100 + c · 10 + b) = 9b − 9c = 9 · (b − c)
Różnica ta jest również podzielna przez 3.
Punktacja
Rozpatrzenie jednego z powyższych przypadków 3 punkty
Rozpatrzenie obu przypadków 4 punkty
Sprawdzenie własności na liczbach we wszystkich możliwych przypadkach 2 punkty
4
Zadanie 13. (4 punkty) Klasa IId wyjechała na wycieczkę w góry, gdzie uczniowie mieli zamieszkać w schronisku. Po rozmieszczeniu w pokojach dwuosobowych okazało się, że brakuje
dwóch pokoi. Wówczas wstawiono do pokoi dodatkowo jedno łóżko tak, aby w pokoju mieściło
sie troje uczniów. Po rozmieszczeniu uczniów w pokojach trzyosobowych okazało się, że dwa
pokoje zostały wolne. Ilu uczniów pojechało na wycieczkę? Ile pokoi było w schronisku?
Przyjmując oznaczenia :
x - liczba uczniów
y - liczba pokoi
W przypadku rozmieszczenia uczniów po dwie osoby w pokoju otrzymujemy równanie:
x
=y+2
2
W przypadku rozmieszczenia uczniów po trzy osoby w pokoju otrzymujemy równanie:
x
=y−2
3
Wyznaczając z obu równań y i porównując otrzymujemy równanie:
x
x
−2= +2
2
3
Rozwiązaniem powyższego równania jest :
x = 24
Podstawiając za x do jednego z równań otrzymujemy
y = 10
Punktacja
Napisanie jednego z równań - 2 punkty
Napisanie obu równań - 3 punkty
Wyznaczenie rozwiązań - 4 punkty
5
Zadanie 14. (4 punkty)
√ Koza pasie się na kwadratowej łące o boku 8m . Koza uwiązana na
łancuchu o długości 4· 2 m, który jest przywiązny do ogrodzenia w środku jednego z boków. W
ciągu dziesięciu dni koza zjadła całą trawę, którą miała w zasięgu. W związku z tym gospodarz
odwiązał kozę tak, że mogła się paść na całej łące. Na ile całych dni wystarczy kozie trawy na
pozostałej części łąki? Wykonaj rysunek w skali 1:100. Przyjmij, że bok pojedynczej kratki ma
długość 5 mm.
Fragment łąki do którego ma dostęp koza składa√się z dwóch równoramiennych, prostkątnych
trójkątów o boku 4m i wycinka koła o promieniu 4 2m i kącie prostym. Pole dostępne dla kozy
jest równe:
√
4 · 4 π · (4 2)2
+
= 16 + 8 = 16 + 8 · π = 16 + 25, 12 = 41, 12m2
P =2·
2
4
W ciągu jednego dnia koza zjada 41,12
= 4, 112m2 powierzchni łąki.
10
Po zjedzeniu trawy na dostępnej łące i odwiązaniu kozy, część łąki na której występuje trawa
ma powierzchnię
8 · 8 − 41, 12 = 22, 88m2
Liczba całych dni na których wystarczy trawy kozie równa jest całkowitej części ułamka
22, 88
całkowita część
4, 112
!
=5
Punktacja
wykonanie poprawnego rysunku - 1 punkt
obliczenie pola łąki dostępnego dla kozy uwiązanej - 2 punkty
obliczenie liczby dni - 1 punkt
W przypadku, gdy uczeń nie poda części całkowitej tylko wynik dzielenia nie odejmujemy
punktów.
6
Zadanie 15. (4 punkty) Dane sa punkty A = (1, 0), B = (7, 3). Znajdź taki punkt C na osi
OY , który wraz z punktami A i B tworzy trójkąt prostokątny ABC wiedząc, że kąt prosty
znajduje się przy wierzchołku A. Wykonaj rysunek.
Szukany punkt leży na osi OY więc przyjmujemy, że ma współrzędne C = (0, y). Rozpatrujemy
trójkąty prostokątne ∆DAC, ∆AEB, ∆CF B. Pisząc dla każdego z tych trójkątów równanie
wynikające z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy następujące równania:
dla trójkąta DAC
dla trójkąta AEB
dla trójkąta CF B
12 + y 2 = |AC|2
62 + 32 = |AB|2
72 + (3 − y)2 = |BC|2
Trójkąt ABC jest trójkątem prostkątnym w którym boki AB i AC są przyprostokątnymi.
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla tego trójkąta otrzymujemy:
|BC|2 = |AC|2 + |AB|2
Podstawiając za |AC|2 , |AB|2 , |BC|2 otrzymujemy równanie:
12 + y 2 + 62 + 32 = 72 + (3 − y)2
1 + y 2 + 36 + 9 = 49 + 9 − 6y + y 2
Po zredukowaniu y 2 otrzymujemy rozwiązanie y=2.
Szukany punkt C = (0, 2).
Punktacja
Wykonanie poprawnego rysunku (punkt C powinien znajdować się na osi OY ) - 1 punkt
Określenie współrzędnych punktu C = (0, y) - 1 punkt
Obliczenie długości przynajmniej dwóch boków trójkąta ABC - 1 punkt
Wyznaczenie punktu C - 1 punkt
7