Metoda aproksymacji współczynnika rozszerzenia przy

Paweł Fotowicz
Główny Urząd Miar
Metoda aproksymacji współczynnika rozszerzenia przy
wzorcowaniu
1. Wstęp
Zagadnienie wyznaczania współczynnika rozszerzenia jest jednym z podstawowych
zagadnień dotyczących oceny niepewności przy wzorcowaniu. Problem ten związany jest z
oceną rzeczywistego rozkładu wielkości mierzonej, od którego to w znacznej mierze zaleŜy
właściwy dobór współczynnika rozszerzenia zapewniający odpowiedni poziom ufności
niepewności rozszerzonej. Poziom ten dla warunków wzorcowania przyjęto jako około 95 % i
taki naleŜy zapewnić przy wyraŜeniu niepewności w świadectwie wzorcowania.
Dotychczasowe zalecenia wyraŜone w publikacji [1] nie dają pewnej gwarancji utrzymania
powyŜszego poziomu ufności. NaleŜy zatem poszukiwać metod umoŜliwiających
dokładniejsze obliczanie współczynnika rozszerzenia dla oszacowania niepewności wyniku
pomiaru przy wzorcowaniu.
W przypadkach, gdy rozkład wielkości mierzonej moŜna scharakteryzować rozkładem
normalnym, a niepewność standardowa związana z estymatą wielkości wyjściowej jest
wystarczająco wiarygodna, moŜna standardowo stosować współczynnik rozszerzenia k = 2.
JednakŜe, nie zawsze moŜna potwierdzić słuszność przyjęcia załoŜenia o rozkładzie
normalnym. MoŜe się okazać, Ŝe niepewność rozszerzona otrzymana przy standardowym
współczynniku rozszerzenia k = 2, odpowiada poziomowi ufności innemu niŜ 95 %.
Stosowanie w przybliŜeniu identycznej wartości poziomu ufności ma bowiem znaczenie, gdy
porównywane są wyniki pomiarów takiej samej wielkości, np. przy ocenie wyników
porównań międzylaboratoryjnych lub podczas oceny zgodności ze specyfikacją. W takich
przypadkach, aby zapewnić podobny poziom ufności jak dla rozkładu normalnego, do
wyznaczenia wartości niepewności rozszerzonej naleŜy zastosować inną metodę.
W publikacji [2] zaproponowano dwie metody przybliŜonego obliczania współczynnika
rozszerzenia. Pierwsza polega na aproksymacji rozkładu wielkości mierzonej rozkładem
prostokątnym, gdy w budŜecie niepewności występuje składowa dominująca o rozkładzie
prostokątnym. W tym wypadku współczynnik rozszerzenia wynosi k = 1,65 dla poziomu
ufności p = 95 %. Druga metoda polega na aproksymacji rozkładu wielkości wyjściowej
rozkładem trapezowym, gdy dominującymi składowymi w budŜecie niepewności są dwie o
rozkładach prostokątnych. W tym wypadku współczynnik rozszerzenia moŜe przybierać
wartości od k = 1,65 do k = 1,9, dla poziomu ufności p = 95 %, w zaleŜności od wzajemnej
proporcji udziałów niepewności obu składowych i wyraŜa się zaleŜnością
k=
(
3
1 + r − 2 r (1 − p )
r +1
2
)
(1)
gdzie p to poziom ufności, a r to stosunek dominujących udziałów niepewności.
Obie metody nie rozwiązują jednak problemu w ogólnym przypadku, gdy w budŜecie
występuje kilka składowych o rozkładach normalnych i prostokątnych o róŜnych udziałach
niepewności, lecz przy braku wyraźnej dominacji jednej z nich.
Tłumaczenie artykułu: Measurement 35 (2004) 251-256
1
2. Wielkość mierzona
Wielkość mierzoną moŜna przedstawić jako zmienną losową Y opisaną funkcją gęstości
prawdopodobieństwa g(y) oraz dwoma parametrami jej rozkładu: wartością oczekiwaną µ(y)
oraz odchyleniem standardowym σ(y). Wielkość wyjściowa Y jest funkcją wielu wielkości
wejściowych Xi, które równieŜ są zmiennymi losowymi opisanymi własnymi funkcjami
gęstości prawdopodobieństwa gi(xi) oraz wartościami oczekiwanymi µi(xi) i odchyleniami
standardowymi σi(xi). Funkcję pomiaru y = c1x1 +…+ cNxN moŜna zwykle tak dobrać, aby
wielkości wejściowe były nieskorelowane, a zmienne losowe Xi niezaleŜne. Wówczas
powiązanie pomiędzy poszczególnymi parametrami wielkości wyjściowej Y moŜna
przedstawić w sposób następujący
N
µ ( y ) = ∑ ci µ i ( x i )
(2)
i =1
N
σ 2 ( y ) = ∑ ci2σ i2 ( xi )
(3)
i =1
ci =
gdzie
∂y
∂xi
(4)
a pomiędzy ich funkcjami gęstości rozkładów prawdopodobieństwa zachodzi związek
g ( y ) = g1 ( x1 ) ∗ g 2 ( x 2 ) ∗ ... ∗ g N ( x N )
gdzie
g i ( xi ) ∗ g i +1 ( xi +1 ) =
∞
∫ gi (xi ) ⋅ gi +1 (x − xi ) dxi =
−∞
(5)
∞
∫ gi (x − xi +1 ) ⋅ gi +1 (xi +1 ) dxi +1
(6)
−∞
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa wielkości wyjściowej jest splotem funkcji gęstości
rozkładów wielkości wejściowych.
Wyznaczenie parametrów funkcji wielkości wyjściowej nie przedstawia specjalnych
problemów, poniewaŜ wartości oczekiwane wielkości wejściowych estymujemy ich
wartościami średnimi xi , a odchylenia standardowe estymujemy niepewnościami
standardowymi u(xi). Dalsze postępowanie jest następujące: wartość oczekiwaną Y
estymujemy zaleŜnością
N
y = ∑ ci x i
(7)
i =1
a odchylenie standardowe Y estymujemy złoŜoną niepewnością standardową, dla której
uc
2
N
( y ) = ∑ ci2 u 2 (xi )
(8)
i =1
Największy problem związany jest z aproksymacją rozkładu prawdopodobieństwa
wielkości wyjściowej. Splot funkcji gęstości wielkości wejściowych moŜe być czynnością
Tłumaczenie artykułu: Measurement 35 (2004) 251-256
2
uciąŜliwą, gdyŜ wymaga złoŜonych operacji numerycznych. Istnieje zatem potrzeba
poszukiwania metod oszacowania rzeczywistego rozkładu wielkości mierzonej.
3. Niepewność rozszerzona przy wzorcowaniu
Niepewność rozszerzoną związaną z wielkością mierzoną przy wzorcowaniu podajemy
dla poziomu ufności około 95 % [2]. Dla tak przyjętego załoŜenia moŜna sformułować
warunek matematyczny w postaci
U
∫ g ( y ) dy =
p ≅ 95 %
(9)
−U
gdzie U = k ⋅ uc(y) jest niepewnością rozszerzoną, a k jest współczynnikiem rozszerzenia.
śeby spełnić warunek matematyczny wyraŜony równaniem (9) naleŜy poznać,
chociaŜby w przybliŜony sposób, rozkład prawdopodobieństwa zmiennej Y. Rozkład ten
determinuje bowiem wartość współczynnika rozszerzenia k, gdyŜ złoŜoną niepewność
standardową moŜna wyznaczyć wprost z formuły (8). Zgodnie z zaleceniami publikacji [1]
problem ten rozwiązuje się następująco. Na mocy centralnego twierdzenia granicznego, które
mówi, Ŝe rozkład będący złoŜeniem wielu rozkładów wielkości wejściowych, o
porównywalnych udziałach w niepewności złoŜonej wielkości wyjściowej, zdąŜa do rozkładu
normalnego niezaleŜnie od rodzaju rozkładów tych wielkości. Przykładem moŜe być juŜ splot
trzech rozkładów prostokątnych. Dla poziomu ufności p = 95 % i jednakowych szerokości
połówkowych tych rozkładów wartość współczynnika rozszerzenia k = 1,94, gdy dla rozkładu
normalnego wynosi on k = 1,96, co daje błąd przybliŜenia ok. 1 %. Zatem jest to wartość na
tyle znikoma, Ŝe moŜna ją pominąć i stosować z powodzeniem, w powyŜszym przypadku,
przybliŜenie rozkładem normalnym. JednakŜe błąd tego przybliŜenia znacznie rośnie, gdy
jeden lub dwa z rozkładów prostokątnych reprezentują róŜne szerokości połówkowe.
Wówczas przybliŜenie takiego splotu rozkładem normalnym staje się znacząco niedokładne.
W tym wypadku rozwiązaniem moŜe być rozkład P∗N, który jest splotem dwóch
standardowych rozkładów: prostokątnego i normalnego. Rozkład ten moŜe być przybliŜeniem
splotu wielu składowych o rozkładach prostokątnych i normalnych.
4. Błąd przybliŜenia współczynnika rozszerzenia
Współczynnik rozszerzenia dla rozkładu trapezowego, dany równaniem (1), moŜna
przedstawić w funkcji ilorazu r, jak na rys. 1. Jego przebieg ilustruje krzywa kT. Przyjmując,
Ŝe r jest równieŜ ilorazem odchyleń standardowych splatanych rozkładów normalnego z
prostokątnym moŜna, na podstawie wartości współczynników przestawionych w publikacji
[3], przedstawić przebieg krzywej kPN dla rozkładu będącego splotem P∗N. RóŜnice
pomiędzy wartościami współczynników k dla rozkładu trapezowego i splotu P∗N nie są duŜe,
a ich zmienność przedstawia rys. 2. Krzywa na rysunku ilustruje róŜnice w wartościach
współczynników kT i kPN zgodnie z formułą
δT =
kT − kPN
⋅100 %
kPN
(10)
gdzie kT to współczynnik rozszerzenia dla rozkładu trapezowego, a kPN to współczynnik
rozszerzenia dla rozkładu będącego splotem P∗N.
Tłumaczenie artykułu: Measurement 35 (2004) 251-256
3
1,95
k
1,9
1,85
1,8
kT
1,75
k PN
1,7
1,65
r
1,6
0
2
4
6
8
10
12
Rys. 1. Funkcje współczynników rozszerzenia dla poziomu ufności p = 95 %
1,5
δT
(%)
1
0,5
r
0
0
2
4
6
8
10
12
-0,5
-1
Rys. 2. Funkcja błędu δT dla poziomu ufności p = 95 %
Tłumaczenie artykułu: Measurement 35 (2004) 251-256
4
Błąd przybliŜenia współczynnika rozszerzenia kPN współczynnikiem kT nie przekracza
±1,5 % dla poziomu ufności p = 95 %. MoŜna porównać to przybliŜenie z tradycyjnym
podejściem do zagadnienia, czyli przybliŜeniem współczynnika rozszerzenia splotu P∗N
współczynnikiem dla rozkładu normalnego lub współczynnikiem dla rozkładu prostokątnego.
Sytuację taką przedstawia rys. 3. Zestawiono na nim funkcje obrazujące błąd przybliŜenia
współczynnika dla splotu P∗N współczynnikami dla rozkładu normalnego (δN), dla rozkładu
prostokątnego (δP) i dla rozkładu trapezowego (δT). Odpowiednie funkcje zostały
zdefiniowane następująco
δN =
k N − kPN
⋅100 %
kPN
(11)
δP =
kP − k PN
⋅100 %
kPN
(12)
gdzie kN to współczynnik rozszerzenia dla rozkładu normalnego, a kP to współczynnik
rozszerzenia dla rozkładu prostokątnego.
MoŜna stąd wyciągnąć wniosek, Ŝe najdokładniejszym przybliŜeniem splotu P∗N jest
rozkład trapezowy w zakresie zmienności od r = 1 do r = 10. NaleŜy oczekiwać, Ŝe w
pozostałych zakresach zmienności r dobrym przybliŜeniem będą rozkłady: normalny dla r < 1
i prostokątny dla r > 10.
25
(%) δ
20
δN
15
10
5
δT
r
0
0
2
4
6
8
10
12
-5
δR
-10
-15
-20
Rys. 3. Funkcja błędów δN, δT i δP dla poziomu ufności p = 95 %
Tłumaczenie artykułu: Measurement 35 (2004) 251-256
5
5. Zasada aproksymacji rozkładu i współczynnika rozszerzenia przy wzorcowaniu
Współczynnik rozszerzenia dla splotu P∗N, przy poziomie ufności p = 95 %, zmienia
się w granicach od 1,65 do ok. 2 (dokładnie 1,96) [3]. Te dwie skrajne wartości odpowiadają
współczynnikowi wywodzącemu się z rozkładu prostokątnego i z rozkładu normalnego.
KaŜda inna wartość współczynnika rozszerzenia pochodzi od rozkładu pośredniego pomiędzy
tymi dwoma skrajnymi. Rozkładami tymi są sploty rozkładów prostokątnego i normalnego o
róŜnych wartościach ilorazu ich odchyleń standardowych. Na postawie przebiegu krzywej kPN
(rys. 1) moŜna zauwaŜyć, Ŝe w przedziale dla r zmieniającego się od 1 do 10 bliska jest
przebiegowi krzywej kT dla rozkładu trapezowego. Rozkład trapezowy jest splotem dwóch
rozkładów prostokątnych. Zatem kaŜdy splot rozkładu prostokątnego z rozkładem pośrednim
pomiędzy normalnym a prostokątnym da krzywą k przebiegającą pomiędzy krzywymi kPN i
kT. Wypływa stąd wniosek, Ŝe stosując przybliŜenie splotu rozkładów prostokątnego i
dowolnego pośredniego rozkładem trapezowym popełnia się błąd przybliŜenia współczynnika
rozszerzenia dla tego splotu nie większy niŜ w przypadku przybliŜenia współczynnika kPN
współczynnikiem kT. Rozkład pośredni moŜe być splotem wielu składowych o rozkładach
normalnych i prostokątnych.
Na podstawie przeprowadzonej analizy moŜna sformułować następującą zasadę
aproksymacji rozkładu wielkości mierzonej:
Dla wielkości wyjściowej Y = c1 X 1 + K + c N X N , gdy wszystkie wielkości wejściowe
X 1 , K , X N są niezaleŜne, a wielkość Xi o największym udziale u i ( y ) = ci u ( xi ) w
niepewności złoŜonej uc(y) opisana jest rozkładem prostokątnym oraz spełnia warunek
u i ( y ) ≥ u c ( y ) − u i ( y ) , najlepszym przybliŜeniem rozkładu wielkości Y jest rozkład
trapezowy lub prostokątny, niezaleŜnie od rozkładów innych wielkości wejściowych. W
pozostałych przypadkach najlepszym przybliŜeniem rozkładu wielkości wyjściowej jest
rozkład normalny.
Z zasady tej moŜna wyprowadzić sposób aproksymacji współczynnika rozszerzenia
2
2
k = kN dla 0 ≤ r < 1
k = kT dla 1 ≤ r ≤ 10
k = kP dla r > 10
gdzie
r=
ui ( y)
uc ( y) − ui
2
2
(y)
(13)
(14)
ui(y) – największy udział w niepewności złoŜonej wielkości wejściowej o rozkładzie
prostokątnym.
6. Podsumowanie
PowyŜszą zasadę zastosowano w celu aproksymacji współczynnika rozszerzenia dla
splotu rozkładów prostokątnego i normalnego. Wykres błędu przybliŜenia zdefiniowanego
formułą [4]
δ=
k − kPN
⋅ 100 %
kPN
Tłumaczenie artykułu: Measurement 35 (2004) 251-256
(15)
6
moŜna zilustrować na rys. 4. Maksymalna wartość tego błędu dla pełnego zakresu zmienności
ilorazu r mieści się w przedziale ±2 %. Jest to wartość nie większa niŜ wynikająca z
przybliŜenia współczynnika rozszerzenia dla rozkładu normalnego, przy poziomie ufności
p = 95 %, wartością k = 2.
2,5
(%) δ
2
1,5
1
0,5
r
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
-0,5
-1
Rys. 4. Funkcja błędu metody aproksymacji współczynnika rozszerzenia przy wzorcowaniu
Przedstawiona zasada aproksymacji rozkładu wielkości mierzonej umoŜliwia ścisłe
oszacowanie wartości współczynnika rozszerzenia dla dowolnej liczby wielkości
wejściowych opisanych rozkładami normalnymi i prostokątnymi. Zapewnia tym samym
osiągniecie, przy obliczaniu niepewności rozszerzonej, załoŜonego poziomu ufności,
bliskiemu 95 %, przyjętemu dla warunków wzorcowania. MoŜe być zatem z powodzeniem
stosowana w procedurach obliczania niepewności pomiaru przy wzorcowaniu.
Literatura
[1] Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement. ISO, 1995
[2] Expression of the Uncertainty of Measurement in Calibration. European co-operation for
Accreditation, EA-4/02, 1999
[3] C. F. Dietrich: Uncertainty, Calibration and Probability. The statistics of Scientific and
Industrial measurement. Wydawnictwo A. Hilger, 1991
[4] D. Turzeniecka: Errors in the evaluation of the coverage factor as a criterion of
applications of approximate methods of evaluation of expanded uncertainty.
Measurement 27 (2000) 223-229
Tłumaczenie artykułu: Measurement 35 (2004) 251-256
7