Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
1
Wykład 25
Kwantowa natura promieniowania.
10.1 Promieniowanie cieplne.
Ciała zaczynają świecić, jeżeli podgrzać je do dostatecznie wysokich temperatur.
Świecenie ciał, które spowodowane jest nagrzewaniem, nazywa się promieniowaniem
cieplnym
(temperaturowym).
Promieniowanie
cieplne
jest
promieniowaniem
elektromagnetycznym. Jest ono jednym z najbardziej rozpowszechnionych zjawisk w
przyrodzie,
powstaje w wyniku ruchu cieplnego cząsteczek i atomów substancji (tzn.
kosztem energii wewnętrznej ciała) i jest charakterystyczne dla wszystkich ciał mających
temperaturę wyższą niż 0K. Promieniowanie cieplne ma widmo ciągłe częstości, a położenie
maksimum
tego
widma
zależy
od
temperatury.
W
wysokich
temperaturach
wypromieniowywane są fale elektromagnetyczne krótkie (widzialne i ultrafioletowe), w
temperaturach niskich wysyłane są głównie fale dłuższe (podczerwone).
Promieniowanie cieplne jest praktycznie jedynym rodzajem promieniowania, które
możemy uważać za równowagowe. Załóżmy, że nagrzane ciało (promieniujące) umieszczone
jest we wnęce, ograniczonej idealnie odbijającymi ściankami. Wraz z upływem czasu, w
wyniku nieprzerwanej wymiany energii między ciałem i promieniowaniem, następuje stan
równowagi, tzn. ciało w jednostce czasu pochłania tyle energii, ile wypromieniowuje.
Przypuśćmy, że stan równowagi między ciałem, a promieniowaniem z jakiegoś powodu uległ
naruszeniu i ciało wysyła więcej energii niż pochłania. Jeżeli w jednostce czasu ciało więcej
promieniuje, niż pochłania (albo na odwrót), to temperatura ciała zacznie zmniejszać się (lub
podwyższać). W wyniku tego ulegnie osłabieniu (albo wzrośnie) ilość energii wysyłanej
przez ciało, tak długo, aż na koniec ustali się stan równowagi. Wszystkie inne rodzaje
promieniowania są nierównowagowe.
Do ilościowego scharakteryzowania promieniowania cieplnego służy widmowa
(spektralna) zdolność emisyjna ciała – moc promieniowania jednostki powierzchni ciała w
przedziale jednostkowym częstości:
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
R  ,T 
2
dWprom
,   
d
,
gdzie dWprom
,   - energia promieniowania elektromagnetycznego wysyłanego w jednostce
czasu (moc promieniowania), z jednostki powierzchni w przedziale częstości ν, ν + Δν.
Jednostką widmowej zdolności emisyjnej jest dżul na metr do kwadratu na sekundę (J/(m2s)).
Zdolność emisyjną można przedstawić w postaci funkcji długości fali, ponieważ
dWprom
,    R  ,T d  R  ,T d .
Ponieważ c     , to
d
c
2
 2  ,
d
c

gdzie znak minus wskazuje, że wraz ze wzrostem jednej z wielkości (ν lub λ) druga wielkość
maleje. Dlatego też dalej znak minus będzie opuszczany. W ten sposób
R  , T  R  ,T
2
.
c
10.1
Za pomocą 10.1 można przejść od Rν,T do Rλ,T i na odwrót.
Jeżeli znamy zdolność emisyjną dla każdej części widma, to można obliczyć całkowitą
zdolność emisyjną (mówimy krótko zdolność emisyjna ciała), sumując po wszystkich
częstościach):
R T   R  ,T d
10.2
Zdolność ciał do pochłaniania padającego na nie promieniowania jest scharakteryzowane
spektralną (widmową) zdolnością absorpcyjną:
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
A  ,T 
3
dWpoch
,  d
dW , d
,
która pokazuje, jaka część energii fal elektromagnetycznych z przedziału częstości ν, ν +dν,
dochodzącej w jednostce czasu do jednostkowej powierzchni ciała dWν.ν+dν, jest
pochłaniana przez ciało. Zdolność absorpcyjna jest wielkością bezwymiarową. Rν,T i Aν,T
zależą od natury ciała, jego temperatury termodynamicznej i różnią się w zależności od
częstości promieniowania. Dlatego też, wielkości te są podawane dla określonych temperatur
i częstości (dokładniej: dla dostatecznie wąskiego przedziału częstości od ν do ν +dν) i
nazywają się również spektralną gęstością promieniowania Rν,T i i spektralną zdolnością
absorpcyjną Aν,T.
Ciało, które jest zdolne do całkowitego pochłaniania promieniowania dla wszystkich
częstości dla dowolnej temperatury nazywa się ciałem doskonale czarnym. W rezultacie
zdolność absorpcyjna ciała doskonale czarnego jest równa 1 dla wszystkich częstości i
temperatur ( A cz
 ,T  1 ). Ciała doskonale czarne w przyrodzie nie występują, jednak takie ciała
jak sadza, czerń platynowa, czarny aksamit i niektóre inne materiały dla pewnych
przedziałów częstości mają własności zbliżone do ciała doskonale czarnego.
Rysunek 10.1
Idealnym modelem ciała doskonale czarnego jest zamknięta powierzchnia z niewielkim
otworkiem O, której wewnętrzna powierzchnia jest zaczerniona (Rysunek 10.1). Promień
światła padając do środka takiej powierzchni doznaje wielokrotnego odbicia od ścianek
powierzchni, w rezultacie czego natężenie wychodzącego promieniowania jest praktycznie
równe zeru. Doświadczenie pokazuje, że dla otworu mniejszego niż 0,1 powierzchni
wpadające promieniowanie jest praktycznie w całości pochłaniane. Konsekwencją tego jest
fakt, że otwarte okna domów od strony ulicy wydają się czarnymi, chociaż wewnątrz pokoju
jest dostatecznie jasno w wyniku odbijania się promieni od ścian.
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
4
Obok pojęcia ciała doskonale czarnego wprowadza się pojęcie ciała szarego – ciała,
którego zdolność absorpcyjna jest mniejsza od jedności, za to jednakowa dla wszystkich
częstości i zależy tylko od temperatury. Tak więc, dla ciała szarego A sz
 ,T  A T  const  1 .
Badania promieniowania cieplnego odegrały ważną role w stworzeniu teorii kwantowej
światła, dlatego musimy przeanalizować prawa, którym promieniowanie to podlega.
10.2 Prawo Kirchhoffa.
Kirchhoff opierając się na drugiej zasadzie termodynamiki i analizując warunki
promieniowania izotropowych ciał znajdujących się w stanie równowagi termicznej, określił
ilościową zależność między spektralną zdolnością emisyjną i spektralną zdolnością
absorpcyjną ciał.
Stosunek spektralnej zdolności emisyjnej do spektralnej zdolności absorpcyjnej nie
zależy od natury ciała; jest on dla wszystkich ciał uniwersalną funkcją częstości
(długości fali) i temperatury (prawo Kirchhoffa)
R  ,T
A  ,T
 r ,T
10.3
Dla ciała doskonale czarnego 
, ≡ 1, dlatego też z prawa Kirchhoffa wynika, że  ,
jest równa , . Wynika stąd, że uniwersalna funkcja Kirchhoffa jest po prostu spektralną
zdolnością emisyjną ciała doskonale czarnego. W rezultacie, zgodnie z prawem Kirchhoffa,
dla wszystkich ciał stosunek spektralnej zdolności emisyjnej do spektralnej zdolności
absorpcyjnej jest równy spektralnej zdolności emisyjnej ciała doskonale czarnego dla danej
temperatury.
Z prawa Kirchhoffa wynika, że spektralna zdolność emisyjna dowolnego ciała w
dowolnej części widma jest zawsze mniejsza od spektralnej zdolności emisyjnej ciała
doskonale czarnego (dla tych samych wartości T i ν), ponieważ Aν,T < 1, to RνT <rν. Oprócz
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
5
tego z 10.3 wynika, że jeżeli ciało nie pochłania fal elektromagnetycznych jakiejś częstości,
to również nie emituje fal o tej częstości Aν,T = 0, RνT = 0.
Wykorzystując prawo Kirchhoffa wyrażenie na całkowitą zdolność emisyjną ciała
można zapisać w postaci:

R T   A  ,T r ,T d .
0
Dla ciała szarego

R  A T  r ,T d  A T R e ,
sz
T
10.4
0
gdzie
 =
∞
 
 ,
10.5
- Re całkowita zdolność emisyjna ciała doskonale czarnego (zależy tylko od temperatury).
Prawo
Kirchhoffa
opisuje
tylko
promieniowanie
cieplne,
będąc
na
tyle
charakterystycznym dla niego, że może służyć jako kryterium określającym naturę
promieniowania.
Promieniowanie,
które
nie
spełnia
prawa
Kirchhoffa
nie
jest
promieniowaniem cieplnym.
10.3 Prawa Stefana – Boltzmanna i przesunięć Wiena.
Z prawa Kirchhoffa wynika (patrz 10.3), że spektralna zdolność emisyjna ciała doskonale
czarnego jest uniwersalną funkcją, dlatego też znajdowanie jej jawnej zależności od częstości
i temperatury jest ważnym zadaniem teorii promieniowania cieplnego.
Austriacki fizyk J. Stefan analizując dane eksperymentalne i Boltzmann stosując metody
termodynamiczne rozwiązali to zadanie tylko częściowo, ustalając zależność między
całkowitą zdolnością emisyjną, a temperaturą. Zgodnie z prawem Stefana – Boltzmanna:
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
6
R e  T 4 ,
10.6
Całkowita zdolność emisyjna ciała doskonale czarnego jest proporcjonalna do czwartej
potęgi temperatury termodynamicznej; σ stała Stefana – Boltzmanna; jej wartość


rλT
wyznaczona eksperymentalnie jest równa 5,67 10 8 W / m 2  K .
Rysunek 10.2
Prawo Stefana – Boltzmanna, określając zależność Re od temperatury, nie daje odpowiedzi na
to jaki jest skład widmowy ciała doskonale czarnego. Z krzywych doświadczalnych
zależności funkcji rλ,T ( r ,T 
c
r ,T ) od długości fali λ dla różnych temperatur (Rysunek
2
10.2) wynika, że rozkład energii w widmie ciała doskonale czarnego jest nierównomierny.
Wszystkie krzywe mają wyraźnie wydzielone maksima, które w miarę zwiększania się
temperatury przesuwają się w stronę fal krótszych. Pole powierzchni ograniczone krzywą
zależności rλ,T od λ i osią odciętych jest proporcjonalne do zdolności emisyjnej Re i w
rezultacie, zgodnie z prawem Stefana – Boltzmanna, do czwartej potęgi temperatury.
Niemiecki fizyk Wien, w oparciu o prawa termo- i elektroprzewodnictwa, ustalił
zależność między długością fali λmax, odpowiadającą maksimum funkcji rλ,T, a temperaturą.
Zgodnie z prawem Wiena,
 max 
b
,
T
10.7
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
7
Długość fali λmax, odpowiadająca maksymalnej wartości spektralnej zdolności emisyjnej
rλ,T ciała doskonale czarnego jest odwrotnie proporcjonalna do jego temperatury
termodynamicznej, b – stała Wiena; jej wartość wyznaczona doświadczalnie wynosi
2,9  10 3 m  K .
Wyrażenie 10.7 dlatego często nazywa się prawem przesunięć Wiena. Prawo Wiena
wyjaśnia dlaczego w miarę zmniejszania się temperatury nagrzanych ciał w ich widmie coraz
silniej zaczyna dominować promieniowanie o falach długich (na przykład zmiana białego
żaru w czerwony podczas ostygania metalu).
Pomimo, iż prawa Stefana – Boltzmanna i Wiena odgrywają ważną rolę, są one tylko
prawami częściowymi – nie dają ogólnego obrazu rozkładu energii w zależności od częstości
dla różnych temperatur.
10.4 Wzory Rayleigha – Jeansa i Plancka.
Z analizy praw Stefana – Boltzmanna i Wiena wynika, że podejście termodynamiczne w
celu znalezienia uniwersalnej funkcji Kirchhoffa rλ,T nie dało pożądanych rezultatów.
Pierwsza dokładna próba wyprowadzenia teoretycznej zależności rλ,T została podjęta przez
angielskich uczonych Rayleigha i Jeansa, którzy zastosowali do promieniowania cieplnego
metody fizyki statystycznej, korzystając z klasycznego prawo równomiernego podziału
energii na stopnie swobody.
Wzór Rayleigha – Jeansa na spektralną zdolność emisyjną ciała doskonale czarnego ma
postać
r ,T 
2 2
kT,
c2
10.8
gdzie k – stała Boltzmanna.
Wg Rayleigha-Jeansa
Wg Wiena
Rysunek 10.3
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
8
Jak pokazało doświadczenie, wyrażenie 10.8 zgadza się z danymi eksperymentalnymi
tylko w obszarze małych częstości i wysokich temperatur. W obszarze dużych częstości wzór
Rayleigha – Jeansa bardzo wyraźnie różni się od danych doświadczalnych i prawa Wiena
(Rysunek 10.3). Oprócz tego okazało się, że próba otrzymania prawo Stefana – Boltzmanna z
prawa Rayleigha – Jeansa prowadzi do absurdu. Rzeczywiście, obliczenie ze wzoru 10.8
zdolności emisyjnej ciała doskonale czarnego

R e   r ,T d 
0

2kT 2
 d   ,
c 2 0
gdy tymczasem zgodnie z prawem Stefana – Boltzmanna Re jest proporcjonalna do czwartej
potęgi temperatury. Wynik ten został nazwany „katastrofą ultrafioletową”. Tak więc, na
bazie teorii klasycznej nie udało się wyprowadzić praw rządzących rozkładem energii w
zależności od częstości promieniowania cieplnego.
Prawidłowe, zgodne z danymi eksperymentalnymi wyrażenie na spektralną zdolność
emisyjną podał w 1900 roku niemiecki fizyk Max Planck. W tym celu musiał on odejść od
klasycznego podejścia fizyki, w myśl którego energia dowolnego układu może zmieniać się w
sposób ciągły, tzn. może przyjmować dowolnie bliskie wartości.
Zgodnie z zaproponowaną przez Plancka hipotezą kwantową, oscylatory atomowe
wysyłają energię nie w sposób ciągły, a określonymi porcjami – kwantami, przy czym
energia kwantu proporcjonalna jest do częstości drgań:
 0  h 
hc
,

10.9
gdzie h  6,625  1034 J  s - stała Plancka. Ponieważ energia jest wysyłana porcjami, to
energia oscylatora ε może przyjmować tylko określone dyskretne wartości, będące
wielokrotnością elementarnej porcji energii ε0:
  nh
(n = 0, 1, 2, ...)
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
9
Stosując metody statystyczne i kwantowe podejście do promieniowania cieplnego, M. Planck
wyprowadził wzór na uniwersalną funkcję Kirchhoffa
r ,T 
2 2
h
,
2
h /  kT
c e
1
10.10
która w sposób doskonały zgadzała się z danymi eksperymentalnymi dotyczącymi rozkładu
energii w widmie ciała doskonale czarnego w zależności od wszystkich częstości od 0 do  i
dla różnych temperatur. M. Planck przedstawił teoretyczny dowód tego wzoru na posiedzeniu
Niemieckiego Towarzystwa Fizycznego 14 października 1900 roku. Dzień ten można uważać
za datę narodzin fizyki kwantowej.
W obszarze niskich częstości tzn. gdy hν << kT (energia kwantu jest znacznie mniejsza od
energii ruchu cieplnego kT), wzór Plancka 10.10 pokrywa się ze wzorem Rayleigha – Jeansa
10.8. Aby to pokazać rozłóżmy funkcję eksponencjalną w szereg ograniczając się tylko do
dwu pierwszych wyrazów:
e h / kT  1 
h
,
kT
e h / kT  1 
h
.
kT
Podstawiając ostatnie wyrażenie do wzoru 10.10 otrzymamy
r ,T
2 2
h
2 2
 2
 2 kT ,
c h / kT 
c
czyli wzór Rayleigha – Jeansa 10.8.
Ze wzoru Plancka można otrzymać prawo Stefana – Boltzmanna. Zgodnie z 10.5


0
0
R e   r ,T d  
2 2
h
d .
2
h /  kT 
c e
1
Wprowadźmy wielkość bezwymiarową x  h / kT  : dx  hd / kT  ; d  kTdx / h . Wzór
na Re przekształci się do postaci
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
Re 
10
2k 4 4 x 3dx
T  x
 T 4 .
2 3
c h
e 1
0
10.11
gdzie
2k 4
 2 3
ch

x 3dx 2 5 k 4
0 e x  1  15c 2 h 3 ,
ponieważ

x 3dx  4
0 e x  1  15 . W ten sposób wzór Plancka pozwala rzeczywiście otrzymać prawo Stefana –
Boltzmanna. Oprócz tego, podstawienie liczbowych wartości k, c, i h pokazuje, że obliczona
stała Stefana – Boltzmanna pokrywa się z wielkością zmierzoną doświadczalnie.
Prawo przesunięć Wiena można otrzymać ze wzorów 10.1 i 10.10:
r ,T
c
2c 2 h
1
,
 2 r ,T 
5
hc /  kT 

 e
1
skąd
 hc hc / kT 

e


2c 2 h
 kThc/ kT 
 6 hc / kT 
 5 .

 e
1  e
1





r ,T


Wartość λmax, dla której funkcja osiąga maksimum, znajdziemy przyrównując do zera tę
pochodną. Wprowadzając podstawienie x  hc / kT max  , otrzymamy równanie


xe x  5 e x  1  0 .
Rozwiązanie tego ogólnego równania metodą kolejnych przybliżeń daje x = 4,965. W
rezultacie hc / kT max   4,965 , skąd
T max  hc / 4,965k   b ,
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
11
co jest równoważne prawu przesunięć Wiena 10.7.
Z równania Plancka znając uniwersalne stałe h, k i c można obliczyć stałe Stefana –
Boltzmanna σ i Wiena b. z drugiej strony znając doświadczalne wartości σ i b można obliczyć
wartości h i k (właśnie w taki sposób po raz pierwszy obliczono wartość stałej Plancka).
W ten sposób, wzór Plancka nie tylko dobrze zgadza się z danymi doświadczalnymi, ale
zawiera w sobie częściowe prawa promieniowania cieplnego, a także pozwala na wyliczenie
stałych występujących w prawach promieniowania cieplnego. W rezultacie, wzór Plancka jest
pełnym rozwiązaniem podstawowego problemu promieniowania cieplnego przedstawionego
przez Kirchhoffa. Rozwiązanie tego problemu stało się możliwe dzięki rewolucyjnej
kwantowej hipotezie Plancka.
10.5 Zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne.
Hipoteza Plancka, pozwalająca w sposób doskonały zjawisko promieniowania cieplnego
ciała doskonale czarnego, została potwierdzona i rozwinięta dalej podczas wyjaśniania natury
zjawiska fotoelektrycznego – zjawiska, którego odkrycie i wyjaśnienie odegrało dużą rolę w
stworzeniu teorii kwantowej. Zjawiskiem fotoelektrycznym zewnętrznym nazywa się
wysyłanie
elektronów
z
powierzchni
substancji
pod
wpływem
promieniowania
elektromagnetycznego. Zjawisko fotoelektryczne obserwuje się ciałach stałych (metalach,
półprzewodnikach, dielektrykach), jak również w gazach. Zjawisko fotoelektryczne zostało
odkryte przez Henryka Herza w 1887 roku, który obserwował zwiększenie procesu
rozładowywania podczas oświetlania przerwy iskrowej
światłem ultrafioletowym.
Ogólny
schemat
do
obserwacji
zjawiska
fotoelektrycznego przedstawiony jest na rysunku 10.4.
Dwie elektrody: katoda i anoda podłączone są w rurce
próżniowej do baterii w ten sposób, że za pomocą
potencjometru R można zmieniać zarówno wartość, jak
i znak przyłożonego do nich napięcia. Prąd powstający
Rysunek 10.4
podczas oświetlania katody światłem monochromatycznym jest mierzony za pomocą
włączonego w obwód miliwoltomierza.
Oświetlając katodę światłem o różnych długościach fal obserwuje się następujące
prawidłowości 1) najbardziej efektywne działanie okazują fale nadfioletowe, 2) pod wpływem
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
12
światła substancja traci tylko ładunek ujemny, 3) natężenie prądu jest wprost proporcjonalne
do natężenia światła. W 1899 roku niemiecki fizyk P. Lenard i J.J.Thomson za pomocą
metody odchylania ładunków w polu elektrycznym i magnetycznym określili ładunek cząstek,
wbijanych przez światło z katody, udowadniając, że cząsteczkami tymi były elektrony.
Rysunek 10.5
Przedstawione na rysunku 10.4 urządzenie pozwala badać charakterystyki napięciowoprądowe zjawiska fotoelektrycznego – zależność prądu fotoelektrycznego I, wytworzonego
przez strumień elektronów wysyłanych z katody od napięcia U między elektrodami. Taką
zależność przedstawiono na rysunku 10.5. Oczywiście taka charakterystyka mierzona jest dla
stałego natężenia padającego światła. Z krzywej tej widać, że przy pewnym niezbyt dużym
napięciu prąd fotoelektryczny osiąga stan nasycenia – wszystkie emitowane przez katodę
elektrony dochodzą do anody. Zatem natężenie prądu nasycenia In określone jest przez liczbę
elektronów emitowanych pod wpływem światła przez katodę w jednostce czasu.
Łagodnie nachylona część krzywej wskazuje na to, że elektrony wylatują z różnymi co do
wartości prędkościami. Elektrony odpowiadające prądowi dla U = 0 mają prędkości
wystarczające na to, by samodzielnie” dolecieć do katody. Aby natężenie prądu było równe
zeru, należy przyłożyć napięcie hamujące Uh. Przy takim napięciu ani jeden elektron –
mający nawet podczas opuszczania katody największą prędkość nie dotrze do anody. Można
zatem napisać
1
mv 2m  eU h ,
2
gdzie m – masa elektronu. Mierząc zatem napięcie hamujące Uh można wyznaczyć
maksymalną prędkość fotoelektronów.
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
13
Przed 1905 r. stwierdzono, że maksymalna prędkość fotoelektronów nie zależy od
natężenia światła, a jedynie od jego częstości – zwiększenie częstości prowadzi do wzrostu
prędkości. Ustalone doświadczalnie zależności nie zgadzały się z klasyczną teorią falową. Na
przykład, zgodnie z klasycznymi teorią falową:
1. Prędkość fotoelektronów powinna wzrastać wraz z amplitudą (a zatem i natężeniem)
fali elektromagnetycznej.
2. Światło o dowolnej częstości powinno wywoływać efekt fotoelektryczny.
3. Powinno istnieć pewne opóźnienie zachodzenia zjawiska związane z czasem
potrzebnym do zgromadzenia dostatecznie dużej energii, aby elektron mógł wyrwać
się z katody.
Jak wykazał w 1905 roku A. Einstein, wszystkie cechy zjawiska fotoelektrycznego
można łatwo wyjaśnić, jeżeli założy się, że światło jest pochłaniane takimi samymi
porcjami h (kwantami) jakimi – według hipotezy Plancka – jest ono emitowane.
Według Einsteina energia uzyskana przez elektron jest dostarczona w postaci
pochłoniętego w całości kwantu h .
Część tej energii, równa pracy wyjścia W, zużywana jest na to, by elektron mógł opuścić
ciało. Jeżeli światło uwalnia elektron nie przy samej powierzchni katody, a na pewnej
głębokości, to część energii E’ może być tracona wskutek przypadkowych zderzeń wewnątrz
materiału katody. Reszta energii przekształca się w energię kinetyczną Ek elektronu
opuszczającego powierzchnię. Energia kinetyczna jest maksymalna, gdy E’ = 0. W takim
przypadku powinna być spełniona zależność
h 
1
mv 2m  W
2
10.12
znana jako równanie Einsteina.
Ze względu na trudności w otrzymaniu czystej powierzchni metalu dość długo nie można
było potwierdzić eksperymentalnie równania Einsteina. W 1916 roku R. Millikan
przeprowadził dokładne pomiary i mierząc W i
1
mv 2m dla danej częstości światła ν
2
wyznaczył wartość stałej Plancka h; okazała się ona zgodna z liczbami otrzymanymi na

Pracą wyjścia nazywamy najmniejszą energię, jaką należy nadać elektronowi, aby usunąć z powierzchni
metalu do próżni.
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
podstawie
rozkładu
14
widmowego
zrównoważonego
promieniowania
cieplnego
oraz
krótkofalowej granicy rentgenowskiego promieniowania hamowania.
Ze wzoru 10.12 wynika, że w przypadku gdy praca wyjścia W jest większa od kwantu hν,
to elektrony nie mogą opuścić metalu. Zatem, aby powstało zjawisko fotoelektryczne, musi
być spełniony warunek hν >W lub
  0 
W
,
h
10.13
a dla długości fali otrzymamy analogiczny warunek
  0 
hc
W
10.14
Częstość ν0 (lub długość fali λ0) nosi nazwę czerwonej granicy zjawiska fotoelektrycznego.
Liczba
elektronów
uwolnionych
w
zjawisku
fotoelektrycznym
powinna
być
proporcjonalna do liczby kwantów światła padającego na powierzchnię katody. Również
strumień świetlny Φ określony jest przez liczbę kwantów światła (fotonów) padających na
powierzchnię w jednostce czasu. Zgodnie z tym prąd nasycenia In powinien być
proporcjonalny do padającego strumienia światła:
In ~  .
10.15
Zależność ta również została potwierdzona doświadczalnie. Zauważmy, że tylko niewielka
część kwantów przekazuje swoją energię fotoelektronom. Energia pozostałych kwantów
tracona jest na nagrzewanie ciała pochłaniającego światło.
10.6 Masa i pęd fotonu. Ciśnienie światła.
Zgodnie z hipotezą Einsteina dotyczącą kwantów światła, światło jest wysyłane,
pochłaniane i rozprzestrzenia się w postaci porcji energii (kwantami), zwanymi fotonami.
Energia fotonu wynosi  0  h . Jego masę możemy obliczyć korzystając z prawa
równoważności i energii:
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
mf 
15
h
c2
10.16
Foton jest cząstką elementarną, która zawsze (w dowolnym ośrodku) porusza się z
prędkością światła i ma masę spoczynkową równą zeru. W związku z tym masa fotonu
różni się od masy takich cząstek elementarnych, jak elektron, proton i neutron, które
posiadają różną od zera masę spoczynkową i mogą znajdować się w stanie spoczynku.
Pęd fotonu p, zgodnie z teorią względności wynosi
pf 
 0 h

c
c
10.17
Z przytoczonych rozważań wynika, że foton, jak każda inna cząstka, jest
scharakteryzowana przez energię, pęd i masę. Związki  0  h , 10.16 i 10.17 wiążą
własności korpuskularne fotonów z własnościami falowymi światła – jego częstością ν.
Jeżeli fotony posiadają pęd, to światło padając na ciało powinno wywierać na nie
ciśnienie. Z punktu widzenia teorii kwantowej, ciśnienie światła na powierzchnię
spowodowana jest tym, że każdy foton podczas zderzenia z powierzchnią przekazuje jej swój
pęd.
Obliczmy, z punktu widzenia teorii kwantowej, ciśnienie wywierane na powierzchnię
przez
strumień
promieniowania
monochromatycznego
padającego
prostopadle
do
powierzchni. Jeżeli w jednostce czasu na jednostkę powierzchni ciała pada N fotonów, to dla
współczynnika odbicia ρ światła od powierzchni ciała ρN fotonów ulegnie odbiciu, a (1-ρ)N
ulegnie pochłonięciu. Każdy pochłonięty foton przekazuje powierzchni pęd pf  h / c , a
każdy odbity 2p f  2h / c . Ciśnienie światła na powierzchnię jest równa pędowi, który jest
przekazywany powierzchni jednostkowej w ciągu 1s przez N fotonów:
p
2h
h
1  N  1   h N .
N 
c
c
c
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
16
Nh  E e jest energią wszystkich fotonów, padających na jednostkę powierzchni w jednostce
czasu, a E e / c  w - gęstość objętościowa energii promieniowania. Dlatego ciśnienie
wywierane przez światło podczas prostopadłego padania światła na powierzchnię
p
Ee
1    w (1  ) .
c
10.18
Wzór 10.18 wyprowadzony na podstawie opisu kwantowego, pokrywa się z wyrażeniem
otrzymanym na podstawie elektromagnetycznej (falowej) teorii Maxwella (patrz wykład 20).
W ten sposób ciśnienie światła równie dobrze wyjaśnia się na gruncie teorii falowej, jak i
korpuskularnej.
10.7 Zjawisko Comptona.
W sposób najbardziej pełny i przejrzysty korpuskularne własności światła przejawiają się
w zjawisku Comptona. Fizyk amerykański A. Compton badając w 1923 roku rozproszenie
monochromatycznych promieni rentgenowskich w substancjach posiadających lekkie atomy
(parafina, bor), odkrył, że w składzie promieniowania rozproszonego o początkowej długości
fali obserwuje się także promieniowanie o długościach fal dłuższych. Doświadczenie
pokazało, że różnica    ' nie zależy od długości fali promieniowania padającego λ i
rodzaju substancji rozpraszającej promieniowanie, a jest określona tylko wielkością kąta
rozproszenia θ:
   '  2 C sin 2  / 2
10.19
gdzie λ’ – długość fali rozproszonej, λC – komptonowska długość fali (dla rozpraszania fali
na elektronie λC = 2,426pm).
Zjawiskiem
promieniowania
Comptona
nazywa
elektromagnetycznego
się
sprężyste
(rentgenowskiego
rozproszenie
i
krótkofalowego
promieniowania
γ)
na
swobodnych, albo słabo związanych elektronach substancji, któremu towarzyszy zwiększenie
długości fali. Zjawisko to nie daje się wyjaśnić na gruncie falowej natury światła, według
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
17
której długość fali pod wpływem rozproszenia nie powinna się zmieniać: pod wpływem
okresowego pola fali świetlnej elektron drga z częstością pola i dlatego promieniuje
rozproszone fale o tej samej częstości.
Rysunek 10.6
Zjawisko Comptona da się wyjaśnić na podstawie kwantowej natury światła. Jeżeli
uważać, jak zakłada teoria kwantowa, że promieniowanie ma charakter korpuskularny, tzn.
jest strumieniem fotonów, to efekt Comptona jest wynikiem sprężystego zderzenia fotonów
rentgenowskich z swobodnymi elektronami substancji. W wyniku takiego zderzenia foton
przekazuje część swojej energii i pędu zgodnie z zasadami zachowania.
Rozpatrzmy zderzenie sprężyste dwóch cząstek (Rysunek 10.6) – padającego fotonu,
posiadającego pęd pf  h / c i energię  f  h ze spoczywającym swobodnym elektronem
(energia spoczynkowa E 0  m 0 c 2 ; m0 – masa spoczynkowa elektronu). Foton zderzając się z
elektronem przekazuje mu część swojej energii i pędu i zmienia kierunek ruchu
(rozproszenia). Zmniejszenie energii fotonu oznacza oczywiście zwiększenie długości fali
promieniowania rozproszonego. Niech pęd i energia fotonu rozproszonego będą równe
p'f  h' / c i '  h' . Elektron, który wcześniej znajdował się w spoczynku otrzymuje pęd
p  mv i energię E  mc 2 i zaczyna się poruszać. Podczas każdego takiego zderzenia
spełniona jest zasada zachowania energii i pędu.
Zgodnie z zasadą energii
E 0   f  E   'f ,
10.20
a zgodnie z zasadą zachowania pędu
  
pf  pe  p'f .
10.21
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki
18
Podstawiając do wzoru 10.20 wartości odpowiednich wielkości i zapisując zasadę zachowania
pędu 10.21 zgodnie z rysunkiem 10.6, otrzymujemy:
m0 c 2  h  mc 2  h' ,
mv
2
h2
 h   h' 
  
  2 2  ' cos 
c
 c   c 
2
10.22
2
10.23
Masa elektronu odrzutu związana jest z jego prędkością wyrażeniem m  m 0 / 1  v / c .
2
Podnosząc równanie 10.22 do kwadratu, a następnie wyliczając z niego 10.23 z
uwzględnieniem wzoru na masę, otrzymamy
m0 c 2   '  h ' 1  cos .
Ponieważ   h /  , '  h /  ' i    ' , to otrzymamy
 
h
1  cos   2h sin 2  .
m0c
m0c
2
10.26
Wyrażenie 10.26 jest właśnie wzorem otrzymanym doświadczalnie przez Comptona (10.21).
Podstawiając do tego wyrażenia h, m0, c otrzymujemy komptonowską długość fali
-
 C h / m0 c  2,426pm.
Obecność w zestawie rozproszonego światła o nieprzesuniętej linii (promieniowania o
początkowej długości fali) można wyjaśnić w następujący sposób. Podczas rozpatrywania
mechanizmu rozproszenia fali zakładaliśmy, że foton zderza się tylko ze swobodnym
elektronem. Jednak jeżeli elektron jest silnie związany z atomem, jak ma to miejsce dla
elektronów wewnętrznych, to foton wymienia się energią i pędem z całym atomem. Ponieważ
masa atomu w porównaniu z masą elektronu jest bardzo duża, to atom uzyskuje tylko
minimalną wartość energii fotonu. Dla tego też w tym przypadku długość fali λ’
promieniowania rozproszonego praktycznie nie będzie się różnić od długości fali padającej λ.
Download

Wykład 25 Kwantowa natura promieniowania.