Jak matematyka pomaga opisywać Wszechświat

JAK MATEMATYKA POZWALA
OPISYWAĆ WSZECHŚWIAT
1
Leszek Błaszkiewicz
Matematyka w Astrometrii
2
Matematyka w Astrometrii
Astrometria (astronomia pozycyjna) – najstarszy
dział astronomii zajmujący się pomiarami
pozornych położeń i ruchów ciał niebieskich.
Dzieli się na astronomię sferyczną, zawierającą
matematyczną teorię potrzebną do opisywania
ruchów ciał na sferze niebieskiej oraz astronomię
praktyczną, obejmującą teorię przyrządów
astrometrycznych, metody obserwacji i ich
opracowywania.
3
Matematyka w Astrometrii
4
Eratostenes z Cyreny 3 wiek p.n.e.
Wynik Erastotenesa – 6250km
Współczesne wyniki – 6370km
Hipparchos 129 p.n.e (lub 190 p.n.e..
Wynik Hipparchosa – 67 promieni Ziemi
Współczesne wyniki – 60 promieni Ziemi
Matematyka w Astrometrii
7
Matematyka w Astrometrii
8
Matematyka w Astrometrii
Trygonometria sferyczna zajmuje się związkami
w trójkątach na powierzchni kuli.
Dla trójkąta sferycznego prawdziwe są wzory:
• wzór sinusów (Abu'l-Wefa, X w.),
• wzór cosinusów dla boków
(Regiomontanus, XV w.),
• wzór cosinusów dla kątów (F. Viète, 2 poł.
XVI w.),
• wzór cotangensów,
9
• wzór na pole trójkąta.
Matematyka w Astrometrii
10
Matematyka w Astrometrii
•
Każdy element trójkąta sferycznego jest mniejszy od 180°
•
Suma boków trójkąta sferycznego jest mniejsza od 360°;
0° < a + b + c < 360°
•
Suma kątów A+B+C trójkąta sferycznego jest zawsze większa od 180° i
mniejsza od 540°;
180° < A + B + C < 540°
•
Bok każdego trójkąta sferycznego jest większy od wartości bezwzględnej
różnicy dwóch pozostałych boków i mniejszy od ich sumy;
b – c < a < b + c
W trójkącie sferycznym suma dwóch kątów jest mniejsza od trzeciego kąta
powiększonego o 180°;
A + B < C + 180°
11
Matematyka w Astrometrii
12
Matematyka w Astrometrii
13
Matematyka w Astrometrii
Przejście od współrzędnych układu
horyzontalnego (wysokość h i azymut A) do
współrzędnych godzinowych opisywane jest
trójką następujących wzorów:
14
Ruchy Planet
15
Ruchy Planet
16
Ruchy Planet
17
Ruchy Planet
Trzecie prawo Keplera opisuje wzór:
gdzie T to okres ruchu po orbicie, a G to stała grawitacyjna, która wynosi:
18
Wielkość w nawiasie jest stała, a jej wartość zależy tylko od masy M ciała,
wokół którego krąży planeta.
Stosunek:
Jest stały
Ruchy Planet
I Prawo Keplera raz jeszcze
19
orbita eliptyczna, 0 < e < 1
orbita paraboliczna, e = 1
orbita hiperboliczna, e > 1
Ruchy Planet
Mechanika Nieba
20
Ruchy Planet
Prawo powszechnego ciążenia
M1*R1=M2*R2
Środek masy
21
Ruchy Planet
22
Prawo powszechnego ciążenia
Ciążenie
Jeżeli masa sferycznie symetrycznej planety o promieniu r
wynosi M, a masa danego ciała m, to wartość ciężaru ciała
na powierzchni planety dana jest wzorem:
gdzie G jest stałą grawitacji
Zwykle wielkość:
nazywa się przyspieszeniem grawitacyjnym
na powierzchni planety i oznacza przez g, co prowadzi
do prostego wzoru łączącego masę ciała z jego ciężarem:
23
Oznacza to, że przy ustalonym g ciężar jest
proporcjonalny do masy ciała.
Ciążenie
Ale mamy też II zasadę dynamiki Newtona:
Przyspieszenie z jakim porusza się ciało jest proporcjonalne
do działającej siły, a odwrotność masy jest współczynnikiem
proporcjonalności. Kierunek i zwrot przyspieszenia jest zgodny
z kierunkiem i zwrotem siły.
24
Jak odróżnić a od g?
Ciążenie
F= m a
F= m g
25
Ciążenie
26
Ciążenie
Dla r = 1000m
T ≈ 1 min
27
Jasności Gwiazd
28
Hipparch (ok.190-120 p.n.e.)
Jasności Gwiazd
Logarytm to w matematyce wynik operacji
odwrotna względem potęgowania.
Kluczową własnością logarytmów jest fakt, iż służą one
zamianie często czasochłonnego mnożenia na dużo prostsze
dodawanie.
Logarytmem przy podstawie a z liczby b nazywa się taką
liczbę c, oznaczaną zwykle logab, której podstawa a
podniesiona do potęgi c daje liczbę b, czyli
29
przy czym
Jasności Gwiazd
loge x
log1.7 x
log10 x
loge x = ln x
30
e ≈ 2,718281828
Jasności Gwiazd
Prawo Webera-Fechnera – prawo wyrażające relację pomiędzy
fizyczną miarą bodźca a reakcją układu biologicznego.
Dotyczy ono reakcji na bodźce takich zmysłów jak wzrok, słuch
czy poczucie temperatury.
Jest to prawo fenomenologiczne będące wynikiem wielu
obserwacji praktycznych i znajdujące wiele zastosowań technicznych.
Wartość reakcji układu biologicznego
jest proporcjonalna do logarytmu bodźca.
Prawo to można wyrazić wzorem
31
gdzie:
w - reakcja układu biologicznego (wrażenie zmysłowe),
B - natężenie danego bodźca,
B0 - wartość początkowa natężenia danego bodźca,
Jasności Gwiazd
Wzór Pogsona
m1 - m2 = -2.5 log10 (L1 / L2)
Lm/Lm+5=100
[logarytmujemy obustronnie]
log Lm – log Lm+5 = 2
32
czyli:
log Lm – log Lm+1 = 2/5 = 0.4 = log 2,51188643150958
Lm/Ln = 2,512n-m
Jasności Gwiazd
Słońce: –26,74m
Księżyc w pełni: –12,71m
Wenus (max): –4,7m
Mars (max): –2,7m
Jowisz: –2,5m
Merkury (max): –1,8m
Saturn: ok. –0,2m
Uran: ok. 5,5m
Neptun: ok. 7,5m
33
α CMa (Syriusz): –1,46m
α Boo (Arktur): –0,04m
α Lyr (Wega): 0,03m
α Aur (Capella): 0,08m
β Ori (Rigel): 0,1m
α CMi (Procyon): 0,38m
α Vir (Spica): 1m
Struktura Gwiazd
34
Struktura Gwiazd
Subrahmanyan Chandrasekhar
Arthur Stanley
Eddington
35
WMiI – Olsztyn, 8.03.2011
Struktura Gwiazd
36
Struktura Gwiazd
37
Opis Obiektów w Kosmosie
38
Opis Obiektów w Kosmosie
39
Opis Obiektów w Kosmosie
40
Opis Obiektów w Kosmosie
41
Opis Obiektów w Kosmosie
42
Opis Obiektów w Kosmosie
Pulsary odkryte zostały przez Jocelyn Bell i
Antony Hewisha w 1967 roku
Hewish dostał za to w 1974 roku Nagrodę Nobla
43
Opis Obiektów w Kosmosie
44
uaktualnienie : 3 lutego 2017 (3575 planet)
ILE JEST PLANET?
W samej Drodze Mlecznej znajduje się
prawdopodobnie około 100 miliardów planet.
45
Rozważania Kosmologiczne
46
Rozważania Kosmologiczne
Równanie pola
47
Równanie Einsteina jest układem 10 sprzężonych
równań eliptyczno-hiperbolicznych na składowe
tensora metrycznego.
Rozważania Kosmologiczne
Skalar – w algebrze liniowej element ustalonego ciała
nad którym zbudowana jest dowolna przestrzeń liniowa.
Wektor– w matematyce elementarnej, obiekt mający moduł
(zwany też długością), kierunek wraz ze zwrotem.
48
Tensor – obiekt
matematyczny będący
uogólnieniem pojęcia
wektora.
Rozważania Kosmologiczne
49
Rozważania Kosmologiczne
8 G
R
2
2
v 
 R  kc 
3
3
2
2
Aleksandr Friedman Podał rozwiązanie równania Einsteina
dla ewoluującego Wszechświata
k = +1
50
k=0
k= -1
Rozważania Kosmologiczne
1926 – Georges Lemaître (1894-1966)
po wysłuchaniu wykładu Edvina
Hubble’a, w ciągu jednej nocy buduje
model matematyczny łączący teorię z
obserwacjami.
Wyniki publikuje w 1927 r.
K= -1
K=0
K=+1
51
I to by było na tyle
52
53
WAHADŁO
54
POMIAR WARTOŚCI G

Trzeba zmierzyć długość l

Trzeba wyznaczyć okres T

Wyliczyć z wzoru
55