Podstawy rachunku prawdopodobieństwa ( ) ( ) ( ) ( )

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa
KaŜdy z moŜliwych wyników doświadczenia nazywany jest zdarzeniem elementarnym.
Przestrzenią zdarzeń elementarnych nazywamy zbiór wszystkich moŜliwych wyników
doświadczenia; przestrzeń tę oznaczać będziemy przez S.
Rzut kostką: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Rzut monetą: S = { O, R }
Ocena z egzaminu: S = { 2, 3, 3.5, 4, 4.5, 5 }
Liczba ziaren w kłosie: S = { 0, 1, 2, ... }
Zdarzeniem nazywamy dowolny podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych.
Doświadczenia i zdarzenia:
Rzut kostką:
A- wyrzucenie parzystej liczby oczek , A = { 2, 4, 6 }
Rzut monetą: A – wyrzucenie orła, A = { O }
Ocena z egzaminu: A – uzyskanie oceny ponad dobrej, A = { 4.5, 5 }
Liczba ziaren w kłosie: A – kłos z liczbą ziaren mniejszą niŜ 4, A = { 0, 1, 2, 3 }
Sumą dwóch zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie złoŜone z tych zdarzeń elementarnych,
które naleŜą do A lub do B; sumę tę oznaczamy symbolem A∪B.
Iloczynem lub koniunkcją dwóch zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie, które składa się z
tych zdarzeń elementarnych, które występują w A i B jednocześnie; iloczyn ten oznaczamy
symbolem A∩B.
RóŜnicą dwóch zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie, które składa się ze zdarzeń
elementarnych naleŜących do A i nie naleŜących do B; róŜnicę tę oznaczamy symbolem A\B.
Zdarzeniem przeciwnym do A jest takie zdarzenie A', dla którego prawdziwa jest równość
A∪A’ = S. Zdarzenie przeciwne jest to zdarzenie, które zachodzi wtedy gdy nie zachodzi A.
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa dotyczy przypadku, w którym w eksperymencie
mamy skończoną liczbę rezultatów i kaŜdy z nich jest równie prawdopodobny. Wówczas
prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe
P(A) =
liczba wyników sprzyjających A
----------------------------------------- .
ogólna liczba moŜliwych wyników
.
Wnioski:
P(A’) = 1 - P(A)
P(A ∪ B ) = P(A ) + P(B ) − P(A ∩ B ) .
Przykłady.
Prawdopodobieństwa zdarzeń.
(a) RozwaŜmy doświadczenie polegające na rzucie monetą. Prawdopodobieństwo zdarzenia
A polegającego na wyrzuceniu orła wynosi
1
P (A ) =
2
(b) Niech dany będzie eksperyment, w którym krzyŜujemy dwie alternatywne homozygoty
BB x bb. Prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na otrzymaniu heterozygoty jest
równe
4
P(A ) = = 1
4
(c) Przeprowadźmy doświadczenie polegające na jednokrotnym rzucie kostką. RozwaŜmy
trzy zdarzenia:
A- wyrzucono parzysta liczbę oczek ,
B- wyrzucono liczbę oczek podzielną przez 3,
C- wyrzucono liczbę oczek podzielną przez 2 lub 3.
3 1
Wówczas
P (A ) = =
6 2
2 1
P(B ) = =
6 3
4 2
P(C) = = .
6 3
ZauwaŜmy, Ŝe zdarzenie C moŜemy przedstawić jako sumę zdarzeń A i B. Nie są to jednak
zdarzenia wykluczające się, poniewaŜ wyrzucenie 6 jest zdarzeniem elementarnym
naleŜącym do A i do B. Stąd prawdopodobieństwo zdarzenia C zgodnie z (1.1) jest równe
3 2 1 4 2
P(C) = P(A ∪ B ) = + − = = .
6 6 6 6 3
Przy obliczaniu prawdopodobieństwa na podstawie definicji klasycznej posługujemy się
pewnymi regułami pomocniczymi, a mianowicie:
Reguła 1
JeŜeli w pierwszym eksperymencie moŜliwych jest n1 rezultatów i dla kaŜdego z nich drugi
eksperyment moŜe mieć n2 rezultatów, to oba eksperymenty dostarczają n1n2 moŜliwych
rezultatów.
Reguła 2
Liczba uporządkowanych ciągów r róŜnych elementów pochodzących ze zbioru n elementów
(liczba wariacji bez powtórzeń) jest równa
Prn =
n!
= n (n − 1) ⋅ ⋅ ⋅ (n − r + 1)
(n − r )!
Reguła 3
Liczba uporządkowanych ciągów r niekoniecznie róŜnych elementów pochodzących ze
zbioru n elementów (liczba wariacji z powtórzeniami) jest równa
Rrn = n r
Reguła 4
Liczba róŜnych podzbiorów, kombinacji, o r elementach moŜliwych do utworzenia spośród n
elementów jest równa
n
n!
K rn =   =
 r  r!(n − r )!
Przykład .
Przypuśćmy, Ŝe chcemy obliczyć
- liczbę dwucyfrowych liczb:
PoniewaŜ na pierwszej pozycji mogą pojawić się cyfry od 1 do 9 a na drugiej dodatkowo zero
zatem korzystając z reguły 1 mamy 9 ⋅ 10 = 90,
- liczbę trójkolorowych chorągiewek zbudowanych z 6 barw:
W chorągiewce kolory nie mogą się powtarzać a stąd z reguły 2 mamy 6⋅5⋅4 = 120,
- liczbę dwucyfrowych liczb zbudowanych z cyfr 3, 5, 6 i 7:
Na pierwszej i drugiej pozycji moŜe wystąpić kaŜda z wymienionych cyfr, stąd zgodnie z
regułę 3 mamy 4 2 = 16 ,
- liczbę powitań przy spotkaniu 5 osób:
Powitanie to spotkanie dwóch osób nie uwzględniające ich uporządkowania, a więc reguła 4
5
5! 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5
daje nam   =
=
= 10 ,
 2  2!⋅3! 1 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 3
- liczbę podziałów 10 zawodników na dwie równoliczne grupy:
10! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6
Zastosowanie reguły 5 daje Ŝądaną wielkość równą
=
= 252 .
5!⋅5! 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5