ETAP 3 –GEOMETRIA NA PŁASZCZYŹNIE ZADANIA

LAMBDA
Zespół Szkół w Chełmży
Konkurs matematyczny dla uczniów klas III gimnazjum
ul. Hallera 23, 87 – 140 Chełmża
www.lamdba.neth.pl
tel./fax. 675 – 24 – 19
ETAP 3 –GEOMETRIA NA PŁASZCZYŹNIE
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE
W uwagi na fakt, że dział ‘Geometria na płaszczyźnie’ jest bardzo obszerny,
przedstawiamy listę zagadnień obejmujących zadania konkursowe.
1. Własności trójkątów na płaszczyźnie
 pojęcie trójkąta
 pojęcia: wysokości, środkowe, symetralne boków, dwusieczne kątów
w trójkącie, środek ciężkości trójkąta, ortocentrum
 twierdzenia dotyczące trójkątów: Tw. o sumie miar kątów
wewnętrznych w trójkącie, nierówność trójkąta, Tw dotyczące
środkowych w trójkącie, Tw. o odcinku łączącym środki boków w
trójkącie, Twierdzenie o wysokościach trójkąta, Twierdzenie
Pitagorasa (i odwrotne)
2. Własności czworokątów na płaszczyźnie
 pojęcie czworokąta, klasyfikacja czworokątów
 pojęcia: dwusieczne kątów wewnętrznych w czworokątach,
symetralne boków w czworokątach, wysokości w czworokątach
 twierdzenia dotyczące czworokątów: Twierdzenie o odcinku
łączącym środki boków trapezu, Twierdzenie o własnościach
równoległoboku,
Strona 1 z 5
3. Pola trójkątów
 Wzory na pola trójkątów: klasyczny wzór na pole trójkąta, wzór
Herona
4. Pola czworokątów
 wzory na pola równoległoboków
 wzór na pole trapezu
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE
1. Czy można zbudować trójkąt o bokach mających długości:
a) 2, 4, 6
b) 10, 12, 14
c) 2
2,
5,
2+ 2
2. Dwa boki trójkąta mają długość 1 cm i 4 cm. Oblicz obwód trójkąta, wiedząc,
że długość trzeciego boku wyraża się liczbą naturalną
3. Czy stosunek boków trójkąta może być równy 5:6:7? Odpowiedź uzasadnij.
4. Boki trójkąta ABC mają długości |AB| = 10 cm, |BC| = 11 cm, |AC| = 12 cm .
Połączono środki boków trójkąta otrzymując trójkąt A1B1C1. Oblicz obwód
trójkąta A1B1C1.
5. W trójkącie ABC punkt D jest środkiem boku AC. Z punktu D poprowadzono
odcinek DE taki, że DE jest prostopadły do AB oraz E leży na boku AB.
Uzasadnij, że długość odcinka DE jest równa połowie wysokości
poprowadzonej z wierzchołka C.
6. Jeden z kątów trójkąta jest równy 25o, a różnica pozostałych kątów wynosi
15o. Wyznacz, te kąty.
7. Suma miar dwóch kątów trójkąta jest równa trzeciemu. Wykaż, że jest to
trójkąt prostokątny.
8. Uzasadnij, że w trójkącie prostokątnym ABC (| C|=90o) wysokość
poprawdzona z wierzchołka C dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty prostokątne,
których kąty są równe odpowiednim kątom trójkąta ABC.
Strona 2 z 5
9. W równoramiennym trójkącie prostokątnym środkowe poprowadzone do
przyprostokątnych mają długość k . Oblicz długości boków tego trójkąta.
10. Miejscowości A, B i C leżą nad jeziorem. Miejscowość A jest położona 2,7 km
na zachód od miejscowości C, z miejscowości C do miejscowości B prowadzi
droga na południe, która jest o 900 m dłuższa od drogi AC. O ile krótsza jest
odległość w linii prostej od A do B od drogi prowadzącej przez C?
A
C
B
11. Dwóch rowerzystów wyrusza jednocześnie z tego samego miejsca. Jeden
porusza się z prędkością 12km/h na zachód, a drugi z prędkością 16km/h na
północ. Po jakim czasie odległość między nimi będzie równa 60km?
12. W pewnym trapezie trzy boki mają długość 6 cm, a kąt rozwarty trapezu ma
miarę 120o. Oblicz długość dłuższej podstawy trapezu.
13. Długości podstaw trapezu mają się do siebie jak 5:2, a ich różnica wynosi 9
cm. Oblicz długość odcinka łączącego środki ramion trapezu.
14. Oblicz szerokość prostokątnej ramy obrazu, wiedząc, że obwód zewnętrzny,
ramy jest o 28 cm dłuższy od obwodu wewnętrznego ramy.
15. W rombie przekątna tworzy z jednym z boków rombu kąt o mierze 28o.
Oblicz, jakie są miary kątów rombu.
16. Uzasadnij, że środki boków dowolnego trapezu są wierzchołkami
równoległoboku?
17. Wykaż, że w czworokącie ABCD suma długości boków AD i BC jest mniejsza
od sumy długości przekątnych.
18. W trójkącie równoramiennym, ABC |AC|=|CB|, długość wysokości
poprowadzonej z wierzchołka C wynosi 4 oraz |AC|= |AB| - 1. Oblicz pole tego
trójkąta.
19. Oblicz pole trójkąta, którego boki mają długość 21 cm, 17 cm, 10 cm.
20. Trójkąt równoboczny o boku długości 6 obrócono względem środka ciężkości
o kąt o mierze 60o. Oblicz pole otrzymanej figury?
Strona 3 z 5
21. Kąt przy podstawie trójkąta równoramiennego o obwodzie 20 cm ma miarę
30o. Oblicz pole tego trójkąta.
22. Boki prostokąta ABCD są równe a i b. Bok a powiększono o 20%, bok b o
0,25 jego długości. Otrzymano w ten sposób prostokąt EFGH. Oblicz, ile
procent pola prostokąta ABCD stanowi prostokąt EFGH.
23. Przekątna trapezu równoramiennego tworzy z dłuższą podstawą kąt o
mierze 30o i jest prostopadła do boku trapezu. Każde z ramion trapezu ma
długość 4 dm. Oblicz pole i obwód trapezu.
24. Pole równoległoboku AZOR jest równe 128. Wysokość AW poprowadzona z
wierzchołka kąta rozwartego ustala proporcje |RW|:|WO|=3:5 oraz
|AW|:|RW|= 4:3. Oblicz wysokość równoległoboku.
25. Oblicz wysokość trapezu w którym odcinek łączący środki ramion ma długość
8, a pole trapezu wynosi 16.
26. Drużyna harcerska miała do dyspozycji kawałek materiału w kształcie
trapezu prostokątnego. Materiał ten przeznaczono na chorągiewkę. W tym
celu złożono materiał wzdłuż linii łączącej środki ramion trapezu; miała ona
długość 0,9 m. Potem odcięto skrawek w kształcie trójkąta
równoramiennego, wyznaczony przez złożenie materiału. (jak na rysunku).
Trójkątny ścinek miał pole 600 cm2, a jego podstawa miała długość 0,4 m.
Oblicz:
a) Obwód chorągiewki z dokładnością do 0,01 m.
b) Pole chorągiewki
Strona 4 z 5
LITERATURA
[1]
Bobiński Z., Nodzyński P., Uscki M.
„LIGA ZADANIOWA – zbiór zadań dla uczniów zainteresowanych matematyką”
[2]
Gdowski B., Pluciński E.
„ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI dla kandydatów na wyższe uczelnie”
[3]
Kłaczkow K., Kurczab M., Świda E.,
„MATEMATYKA -- zbiór zadań dla liceów i techników – klasa I”
[4]
Zawaira A., Hitchcock G.
„A PRIMER FOR MATHEMATICS COMPETITIONS”
[5]
E. Bańkowska, D. Stankiewicz
“MATEMATYKA W ZASTOSOWANIACH” --
Strona 5 z 5