teoria gier w ekonomii - Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

TEORIA GIER
W EKONOMII
WYKŁAD 1: GRY W POSTACI EKSTENSYWNEJ I
NORMALNEJ
dr Robert Kowalczyk
Katedra Analizy Nieliniowej
Wydział Matematyki i Informatyki UŁ
Schemat gry
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Początek gry.
Ciąg kolejnych posunięć (ze zbioru posunięć
dopuszczalnych).
Posunięcia losowe (rzut monetą, tasowanie kart).
Osiągnięcie końca gry (wygrana, przegrana, remis).
Wypłaty poszczególnych graczy.
Koniec gry.
Przykłady gier



Szachy (gra bez czynnika
losowego,
strategiczna,
z
kompletną informacją).
Brydż (gra losowo-strategiczna,
bez kompletnej informacji).
Ruletka, orzeł i reszka (gra czysto
losowa).
Dendryt, drzewo topologiczne gry
Drzewem topologicznym 
lub
dendrytem
gry
nazywamy zbiór węzłów
zwanych
wierzchołkami
połączonych liniami zwanymi
łukami w taki sposób aby
otrzymana figura była:


spójna,
nie zawiera łamanych
zamkniętych.
drzewo topologiczne
zbiór wierzchołków nie
będący drzewem
topologicznym (istnieje
krzywa zamknięta)
zbiór wierzchołków nie będący
drzewem topologicznym (brak
spójności)
Definicje podstawowych pojęć
Niech  będzie drzewem topologicznym z
wyróżnionym wierzchołkiem A.

Powiemy, że wierzchołek C następuje po
wierzchołku B, jeśli ciąg łuków łączących A z C
przechodzi przez B.

Powiemy, że wierzchołek C następuje
bezpośrednio po wierzchołku B, gdy C
następuje po B oraz B jest połączony łukiem z
C.

Powiemy, że wierzchołek X jest wierzchołkiem
końcowym drzewa , gdy żaden inny
wierzchołek nie następuje po X.
A
A
B
C
B
C
C następuje po B
C nie następuje po B
C jest wierzchołkiem
końcowym
N-osobowa gra w postaci ekstensywnej
Przez n-osobową grę w postaci ekstensywnej rozumiemy:

Drzewo topologiczne  z wyróżnionym wierzchołkiem A nazywanym punktem początkowym gry (punkt początkowy gry).
Funkcję , nazywaną funkcją wypłaty, która przypisuje każdemu wierzchołkowi końcowemu drzewa  pewien nwymiarowy wektor (istnienie funkcji wypłaty).

Rozbicie zbioru niekońcowych wierzchołków drzewa  na n+1 zbiorów S0, S1,… Sn – nazywanych zbiorami posunięć
graczy (rozbicie posunięć na losowe i poszczególnych graczy).

Rodzinę rozkładów prawdopodobieństwa określonych dla każdego wierzchołka ze zbioru S 0 na zbiorze wierzchołków
następujących bezpośrednio po nim (określenie randomizacji na każdym posunięciu losowym).

Rozbicie każdego ze zbiorów Si , i=1,2,…,n, na zbiory Sij zwane zbiorami informacyjnymi, tzn. takimi, że każde dwa
wierzchołki z tego samego zbioru informacyjnego maja tą samą ilość wierzchołków następujących po nich. Ponadto, żaden
wierzchołek nie następuje po żadnym innym z tego samego zbioru informacyjnego (rozbicie posunięć graczy na zbiory
informacyjne: gracz wie w którym zbiorze informacyjnym jest ale nie wiem w którym wierzchołku tego zbioru).

Określony dla każdego zbioru Sij zbiór wskaźników Iij wraz z przyporządkowanym każdemu wierzchołkowi X ze zbioru
Sij wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem zbioru Iij na zbiór wierzchołków następujących po X (definiujemy ten sam
kierunek w przypadku ruchu z tego samego zbioru informacyjnego).

Gra 1 na 1 – zbiory informacyjne
Gracz I
Gracz II
D
(1,1)
B
A
S11
C
S21
F
E
(1,3) (2,2)
S22
G
(0,2)
Gra orzeł-reszka – zbiory informacyjne
A
Gracz I
S11
O
Gracz II
R
C
B
O
D
(1,-1)
S21
R
O
F
E
(-1,1) (-1,1)
R
G
(1,-1)
Gra w pokera – gracz losowy, zbiory informacyjne
S0
S11
Gracz I
Graj
Pas
S21
Gracz II
Sprawdź
(0,0)
A,A
¼
A,K
¼
Graj
Pas
(1,-1)
Pas
(-1,1)
Sprawdź
(3,-3)
(-1,1)
Sprawdź
(3,-3)
S12
¼
Pas
Graj
Pas
Graj
(1,-1)
Pas
K,K
K,A
¼
(1,-1)
(1,-1)
Pas
(-1,1)
Sprawdź
(0,0)
Pas
(-1,1)
S22
Gra z kompletną informacją
Powiemy, że informacja i-tego gracza jest kompletna, gdy wszystkie jego
zbiory informacyjne Sij składają się z dokładnie jednego wierzchołka.
Powiemy, że  jest grą z kompletną informacją, gdy informacja każdego
gracza jest kompletna.
Inaczej mówiąc: gra jest grą z kompletną informacją, gdy każdy z graczy w
danym momencie gry wie wszystko o ruchach pozostałych graczy.
Szachy i warcaby, to gry z kompletną informacją.
Brydż i poker, to gry bez kompletnej informacji (jest czynnik losowości).
Definicja strategii w grze
Strategią i-tego gracza nazywamy funkcję i, która
przyporządkowuje każdemu zbiorowi informacyjnemu Sij dla i-tego
gracza jeden ze wskaźników ze zbioru Iij.
Zbiór wszystkich strategii i-tego gracza oznaczamy symbolem i.
Inaczej mówiąc: Strategia i-tego gracza, to kompletny opis jego
postępowania w każdej możliwej sytuacji, tzn. takiej w której to on ma
wykonać posunięcie.
Wypłata n-graczy, postać normalna gry
Wypłatą n-graczy nazywamy wartość oczekiwaną funkcji wypłaty
każdego z n-graczy, tzn.
(1, 2,…,n)=( 1(1, 2,…,n),  2(1, 2,…,n),…,  n(1, 2,…,n)),
przy założeniu, że i-ty gracz używa strategii i i.
Tablicując funkcję wypłaty (1,2,…,n) dla wszystkich możliwych
wartości 1,2,…,n (przez utworzenie n-wymiarowej macierzy, której
elementami są n-wymiarowe wektory) dostajemy postać normalną gry.
Strategie i wypłaty w grze 1-1
Gracz I
A
Gracz II
S11
Gracz I
Gracz II
D
(1,1)
B
C
S21
F
E
(1,3) (2,2)
B->D
C->F
B->D
C->G
B->E
C->F
B->E
C->G
S22
A->B
(1,1)
(1,1)
(1,3)
(1,3)
G
(0,2)
A->C
(2,2)
(0,2)
(2,2)
(0,2)
Strategie i wypłaty w grze orzeł-reszka
A
Gracz I
O
Gracz II
R
D
(1,-1)
S21
R
O
F
E
(-1,1) (-1,1)
{B,C}->D
{B,C}->F
{B,C}->E
{B,C}->G
A->B
(1,-1)
(-1,1)
A->C
(-1,1)
(1,-1)
Gracz I
C
B
O
Gracz II
S11
R
G
(1,-1)
Gra w wybór liczby
Dokonujemy losowego wyboru liczby
całkowitej z ze zbioru {1,2,3,4} (każdej z
prawdopodobieństwem ¼).
Gracz I nie znając wyniku losowania wybiera
liczbę całkowitą x ze zbioru {1,2,3,4}.
Gracz II nie znając wyniku losowania oraz
wyboru gracza I wybiera liczbę całkowitą y
ze zbioru {1,2,3,4}.
Wektor wypłaty określamy następująco:
(|y-z|-|x-z|,|x-z|-|y-z|).
Gracz II
1
2
3
4
1
(0, 0)
(-½, ½)
(-½, ½)
(0,0)
2
(½, -½)
(0, 0)
(0, 0)
(½, -½)
3
(½, -½)
(0, 0)
(0, 0)
(½, -½)
4
(0, 0)
(-½, ½)
(-½, ½)
(0,0)
Gracz I
Układ n-strategii w równowadze
Powiemy, że układ n-strategii (1*,2*,…,n*) jest w
równowadze, gdy
i (1*,2*,…,i-1*,i’,i+1 *,…,n*)  i (1*, 2*,…,n*)
dla wszystkich i =1,2,…,n oraz dowolnej strategii i’ i.
Inaczej mówiąc: układ n-strategii jest w równowadze, gdy
żaden z graczy nie ma powodu by zmieniać swoją strategię o
ile tylko żaden z pozostałych graczy nie zmieni swojej.
Przykład i zasadnicze twierdzenie
Gra w której zarówno (1,1) oraz
(2,2) są parami strategii w
równowadze.
Twierdzenie
Każda gra skończona (tzn. taka, że jej
dendryt zawiera tylko skończoną ilość
wierzchołków) n-osobowa z kompletną
informacją ma układ n-strategii w
równowadze.
G. Owen, Teoria Gier
Gracz II
1
2
1
(2,1)
(0,0)
2
(0,0)
(1,2)
Gracz I
DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ
dr Robert Kowalczyk
Wydział Matematyki i Informatyki UŁ