DODATEK 3

DODATEK 3
Pole elektryczne nieskończenie długiego walca prostego z równomiernie rozłożonym na jego powierzchni ładunkiem liniowym
Nieskończenie długi prosty walec o promieniu R jest równomiernie naładowany ładunkiem
liniowym o stałej gęstości +ql = const. Pole elektryczne jest radialne i wektory natężenia pola
elektrycznego E są wzdłuż całej długości wszędzie prostopadłe do osi walca, co wynika z
symetrii radialnej i co ilustruje rys. D3.1. W rezultacie linie sił pola elektrycznego są również
prostopadle do pobocznicy walca o promieniu r. Stąd wynika, że strumień wektora natężenia
pola elektrycznego Φ przez pole podstawy walca jest równy zeru, ponieważ tam nie istnieje
składowa normalna wektora E = En = 0, gdzie En jest składową normalną wektora E. Zatem
istnieje tylko strumień wektora natężenia pola elektrycznego Φ przez pobocznicę walca, której powierzchnia jest powierzchnią Gaussa SG o promieniu r (r > R) – przypadek jednowymiarowy: natężenie pola elektrycznego E i potencjał ϕ są funkcjami jednej zmiennej r. W
każdym punkcie powierzchni Gaussa natężenie pola ma stałą wartość E = En = const.
Rys. D3.1. Nieskończenie długi walec równomiernie naładowany ładunkiem
liniowym i jego pole elektryczne
Powierzchnia Gaussa wynosi
SG = 2πrl ,
(D3.1)
gdzie r jest promieniem walcowej powierzchni Gaussa współosiowej z osią naładowanego ładunkiem liniowym ql walca i l jest jej skończoną długością wzdłuż osi walca, przy czym l >> R.
Istnieje zatem tylko strumień wektora natężenia pola przez pobocznicę SG walca
Φ=
∫ E dS =
∫
SG
SG
SG
EdS =E ∫ dS = ESG = E ⋅ 2πrl .
(D3.2)
0
Z definicji strumień ten jest równy
Φ=
Q
εε 0
,
(D3.3)
gdzie Q jest całkowitym ładunkiem liniowym rozłożonym równomiernie wzdłuż długości
walca l i Q = ql l. Stad wynika zależność natężenia pola elektrycznego od promienia r
E=
Q 1
ql 1
.
=
2πεε 0 rl 2πεε 0 r
(D3.4)
Wobec
E = −gradϕ i E = −
dϕ
,
dx
(D3.5)
potencjał ϕ w polu elektrycznym ładunku liniowego ql dla r > R i przypadku jednowymiarowego jest całką z natężenia pola elektrycznego wyrażonego wzorem (D3.4) i wynosi
ϕ = − ∫ E dr = − ∫
ql dr
q
= − l ln r + C
2πεε 0 r
2πεε 0
(D3.5)
z dokładnością do stałej całkowania C i maleje z odległością od osi walca z dodatnim ładunkiem liniowym. Jeśli się przyjmie, że potencjał w nieskończoności jest równy zero, to warunek brzegowy jest następujący
ϕ = 0 dla r = ∞ i C = 0 ,
(D3.6)
a zatem wzór (D3.5) przyjmuje postać
ϕ=−
ql
ln r .
2πεε 0
(D3.7)
Różnica potencjałów U = ϕ1 − ϕ2 między dwoma punktami odległymi od osi walca o r1 i r2
(r2 > r1) wynosi
r1
r2
ql dr
ql
ql
r
=
ln r r2 =
(ln r2 − ln r1 ) = ql ln r2 .
1
2πεε 0 r 2πεε 0
2πεε 0
2πεε 0 r1
r1
U = ϕ1 − ϕ 2 = − ∫ E dr = ∫
r2
(D3.8)
Z warunku, że dla x2 > x1 jest ϕ1 > ϕ2, wynika zmniejszanie się wartości potencjału wraz z odległością od równomiernie i dodatnio (ql > 0) naładowanej ładunkiem liniowym nieskończenie długiej powierzchni walcowej.
Na rys. D3.2 pokazano przebiegi zmian natężenia pola elektrycznego E i potencjału ϕ w
funkcji odległości r od nieskończenie długiego walca.
Rys. D3.2. Natężenie pola elektrycznego E i potencjał ϕ w funkcji odległości r
od nieskończenie długiego walca o promieniu R równomiernie naładowanego
dodatnim ładunkiem liniowym
–2–