Wielokąty foremne konstruowalne środkami klasycznymi

Opracowanie:
Mgr Hanna Zbysz yńska -Prz ybysz
Wielokąty foremne konstruowalne środkami klasycznymi.
Zagadnienia konstrukcyjne zawsze były ulubionym tematem w geometrii. Można
wykonać wiele różnorodnych konstrukcji posługując się wyłącznie cyrklem i linijką, można
podzielić na połowę odcinek lub kąt, z danego punktu poprowadzić prostą prostopadłą do
danej prostej, itp. Tradycyjne ograniczenie do tych przyrządów sięga starożytności, chociaż
sami Grecy nie unikali stosowania innych przyborów. Gdy mamy do czynienia z konstrukcją
geometryczną, wówczas nie wolno zapominać, że problem nie polega na praktycznym
narysowaniu figury z pewnym stopniem dokładności, ale na tym, czy można znaleźć
rozwiązanie teoretyczne przy użyciu tylko linijki i cyrkla i przy założeniu, że nasze narzędzia
są idealnie precyzyjne.
Spośród wszystkich konstrukcji zagadnienie zbudowania wielokąta foremnego o nbokach jest najbardziej interesujące. Dla pewnych wielkości np. n = 3,4,5,6 – rozwiązania
były znane już w starożytności.
Wiadomo z geometrii elementarnej, że możemy środkami klasycznymi skonstruować
trójkąt foremny, kwadrat, pięciokąt, sześciokąt i dziesięciokąt foremny, wpisany w dany
okrąg. Należy więc postawić pytanie, co można powiedzieć o liczbie n- boków n-kąta
foremnego, który można za pomocą środków (K) skonstruować mając dany promień okręgu
opisanego na tym wielokącie i jakie warunki odnoszące się do liczby n wystarczają by taką
konstrukcję dało się wykonać.
Sformułowanie warunków koniecznych i wystarczających konstruowalności środkami
(K) n-kąta foremnego wpisanego w dany okrąg wymaga pewnych twierdzeń pomocniczych
dotyczących własności równań
z n  1  0,
z n 1  z n  2  ...  1  0
ich pierwiastków, oraz sum tych pierwiastków.
Moim zamiarem nie jest przeprowadzenie teoretycznego rozpatrywania tego
zagadnienia lecz przedstawienie tylko tych twierdzeń, które na lekcjach warto przedstawić i
poruszyć wnioski z nich płynące. Do napisania tego artykułu skłoniło mnie przekonanie
uczniów, że za pomocą środków (K) mogą zbudować dowolny wielokąt foremny. Ich
wiadomości były oparte na poznanych metodach konstrukcji przybliżonych stosowanych w
naukach technicznych. A oto przekład takiej konstrukcji.
Podział okręgu na dowolną liczbę równych części, np. 11 ( rys. 1).
rys. 1
Konstrukcja ogólna. Przez punkt A prowadzimy styczną do okręgu o promieniu r. Ze środka
O prowadzimy prostą OB. pod kątem 30o do OA. Od punktu B na stycznej odmierzamy 3r =
BC. Łączymy punkt C z punktem D prostą. Odcinek CD dzielimy na 11 równych części
znanym sposobem. Od punktu D odmierzamy 2/11 CD = DE, a następnie odcinamy na
stycznej odcinek AF = DE. Od punktu D odkładamy odcinek DG = r. Prosta FG przetnie
okrąg w punkcie H, odcinek AH jest bokiem 11 – kąta „foremnego”.
Konstrukcja geometrycznie poprawna, ale gdy mamy do czynienia z konstrukcją
geometryczną środkami (K), wówczas nie wolno nigdy zapominać, że zagadnienie nie polega
na praktycznym narysowaniu figury z pewnym stopniem dokładności, lecz na tym czy można
znaleźć rozwiązanie teoretyczne przy użyciu tylko linijki i cyrkla i przy założeniu, że nasze
narzędzia są idealnie precyzyjne.
Twierdzenia
stanowiące
podstawę do sformułowania i dowodu warunków
koniecznych i wystarczających konstruowalności n-kąta foremnego wpisanego w dany okrąg
można znaleźć w podręcznikach akademickich – spis podany na końcu artykułu.
Twierdzenie 1
Jeżeli n jest liczbą pierwszą,  liczbą naturalną, to do tego, by można było środkami
(K) skonstruować wielokąt foremny o liczbie boków n  , wpisany w okrąg o danym
promieniu, potrzeba i wystarcza, by zachodził jeden z przypadków:
a)  = 1
i
n
nieujemną;
b)   1 i n = 2.
jest liczbą postaci 2
2r
 1 , gdzie r jest liczbą całkowitą
Liczby pierwsze postaci 2
2r
 1 nazywamy liczbami Fermata. Z powyższego twierdzenia
wynika, że
w okrąg o danym promieniu można środkami (K) wpisać te, i tylko te, wielokąty o
liczbie boków pierwszej, których liczba boków jest liczbą Fermata.
Wielokąty takie są ‘wyjątkami ’ w zbiorze wielokątów foremnych.
Istotnie, dla
0
r  0 n  22  1  3
r 1
1
n  22  1  5
2
r  2 n  2 2  1  17
3
r  3 n  2 2  1  257
4
r  4 n  2 2  1  65537
Ogólny przypadek, gdy liczba boków wielokąta jest dowolną liczbą naturalną
warunkuje następne twierdzenie 2, które zawdzięczamy genialnemu matematykowi
niemieckiemu F. Gaussowi.
Twierdzenie 2
Warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby można było skonstruować n-kąt
foremny wpisany w okrąg o danym promieniu jest, żeby liczba n była liczbą postaci
n  2  lub n  20  p1  p 2  ...  pS ,
gdzie  - jest liczbą naturalną, większą od 1,  0 -jest liczbą całkowitą nieujemną,
p i - różnymi liczbami pierwszymi Fermata dla i=1,2,...,s.
Podanie uczniom obu twierdzeń lub zapisanie ich na tablicach pomocniczych nie zaciemni im
podejścia do klasycznych konstrukcji geometrycznych. Moim zdaniem rozwiąże wiele
nieporozumień i niedomówień z którymi musi borykać się nauczyciel chcący przeprowadzić
prawidłowo i efektywnie lekcje. Pojęcia występujące w ich sformułowaniach są na tyle
przystępne, że poradzi sobie z nimi nawet uczeń słabszy.
Przykłady konstrukcji wielokątów środkami (K).
1. Konstrukcje wielokątów o liczbie boków 3  2 n , 4  2 n , n = 0,1,....
Spośród wszystkich wielokątów foremnych sześciokąt jest najłatwiejszy do
skonstruowania ( rys. 2 ).
rys. 2
Zaczynamy konstrukcję od okręgu o promieniu r; długość boku sześciokąta
foremnego wpisanego w ten okrąg jest także równa r. Wielokąt można zatem konstruować
odmierzając od dowolnego punktu kolejno cięciwy o długości r aż do uzyskania wszystkich
sześciu wierzchołków sześciokąta. Łącząc co drugi wierzchołek sześciokąta foremnego
otrzymamy trójkąt foremny wpisany w ten okrąg.
Z foremnego n-kąta możemy otrzymać foremny 2n-kąt połowiąc łuki okręgu
opisanego odpowiadające każdemu bokowi n-kąta , korzystając z konstrukcji dwusiecznej
kąta. Znalezione w ten sposób punkty wraz z wierzchołkami n-kąta są wierzchołkami dla
szukanego 2n-kąta. Zaczynając od średnicy okręgu ( od ‘2-kąta’ ) możemy skonstruować 4kąt, 8-kąt, 16-kąt, ...,2n-kąt ( rys. 3 ). Podobnie możemy otrzymać 12-kąt, 24-kąt, 48-kąt itd. z
sześciokąta foremnego ( rys. 2), oraz 20-kąt, 40-kąt, itd. z dziesięciokąta foremnego.
rys. 3
2. Konstrukcje dziesięciokąta i pięciokąta foremnego wpisanego w dany okrąg.
I. W ‘Elementach’ Euklides oparł konstrukcję pięciokąta foremnego na tzw. ciągłym
podziale odcinka, zwanym także podziałem złotym. Do tego samego podziału sprowadzamy
najczęściej konstrukcję dziesięciokąta foremnego.
Jeżeli AB jest bokiem dziesięciokąta foremnego wpisanego w okrąg O OA  , to
AOB  36 (rys. 4).
rys. 4
Wtedy ABO  72 , wobec tego prowadząc dwusieczną BD kąta OBA otrzymujemy
trójkąty równoramienne DBA i BOA. Z podobieństwa tych trójkątów wynika proporcja
OA
AB
AB

AD
.
(1)
Ale OD  DB , ponieważ DOB  DBO  36 , DB  AB , bo BDA  BAD  72 .
Wobec tego OD  AB i z napisanej poprzednio proporcji (1) otrzymamy
OA
OD
OD

AD
.
Odcinek OD jest więc złotą częścią odcinka OA, zatem AB równa się złotej części odcinka
OA. Stąd wniosek:
Bok dziesięciokąta foremnego wpisanego w okrąg jest złotą częścią promienia tego
okręgu.
Wtedy
a
r
 10
a10 r  a10
2
a10
 ra 10  r 2  0
Rozwiązując ostatnie równanie ze względu na a10 i odrzucając pierwiastek ujemny,
otrzymujemy wzór na długość boku dziesięciokąta foremnego wpisanego w okrąg o
promieniu r:
a10 


r 5 1
.
2
(2)
Aby skonstruować odcinek równy bokowi dziesięciokąta foremnego wpisanego w dany
okrąg. Dzielimy promień tego okręgu w stosunku złotym lub wykonujemy konstrukcję
bezpośrednio według wzoru (2).
II. Jedną z dawno znanych konstrukcji , która pochodzi od Herona z Aleksandrii,
ilustruje rysunek 5.
Niech O OA  będzie danym okręgiem, OA  r . Kreślimy promień OB. Prostopadły
do OA; na odcinku OA jako na średnicy budujemy okrąg; w przecięciu tego okręgu z
odcinkiem łączącym jego środek z punktem B otrzymujemy punkt M.
rys. 5
Twierdzimy, że BM  a10 . Istotnie, stosując twierdzenie Pitagorasa otrzymujemy
2
2
1  1 

2
 BM  r    r   r ,
2
2

  
stąd
2
MB  BM r  r 2  0
BM 


r 5 r
 a10
2
III. Znana jest jeszcze inna konstrukcja odcinków a 5 , a10 , przedstawia ją rysunek 6.
W kole kreślimy dwie prostopadłe średnice AS i BZ. Znajdujemy na okręgu punkty C i K
takie, że ZC  AK  r położone tak jak na rysunku i zakreślamy okrąg C CK  . W
przecięciu okręgu z odcinkiem OB. Wyznaczamy punkt D. Twierdzimy, że
OD  a10 ,
AD  a5 . Istotnie, COZ  60 , więc AOC  30 ,
COK  90 .
AOK  60 , zatem
rys. 6
2
Stosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta COK i otrzymujemy CK  2r 2 ,
CK  r 2 .
Stosujemy teraz do trójkąta COD uogólnione twierdzenie Pitagorasa:
2
2
2
2
2
CD  CO  OD  2  OC  OD  cos120  
 CO  OD  2  OC  OD 
1
2
Ponieważ CD  CK  r 2 , więc
2
2r 2  r 2  OD  r  OD
2
OD  r  OD  r 2  0
OD 


r 5 r
 a10
2
W trójkącie AOD przyprostokątna OA  r  a 6 , przyprostokątna OD  a10 , a więc
2
przeciwprostokątna AD  a 5 , na mocy zależności a10
 a62  a52 .
IV. Wśród nowych konstrukcji boku dziesięciokąta foremnego warto wymienić
konstrukcję M. Webera ze względu na jej prostotę ( rys. 7) .
Na rysunku 7 jest OC  AB, DOB  60 , AD  AC , a10  OD .
rys. 7
V. W praktyce w rysunku technicznym często stosuje się konstrukcję pięciokąta
foremnego wpisanego w okrąg opartą na konstrukcji astronoma greckiego Ptolemeusza
(rys.8).
rys. 8
Prowadzimy w okręgu O OA  dwie prostopadłe średnice AS i BZ. Niech K oznacza
środek promienia OA , a D punkt przecięcia promienia OS z okręgiem K  KB  . Wtedy
BD  a5 ,
OD  a10 . Istotnie kreśląc z punkty O prostą równoległą do DB otrzymamy w
przecięciu tej prostej z KB punkt L. Wtedy OD  BL  a10 .
3.Konstrukcja wielokątów o liczbie boków złożonej.
Euklides skonstruował piętnastokąt foremny wpisany w dany okrąg w następujący
sposób ( rys. 9).
Wybrał punkt A na okręgu i zbudował trójkąt foremny ACF oraz pięciokąt foremny
ABCDEFG wpisany w ten okrąg.
1
Ponieważ AOD  2   360  144 ,
5
1
AOB   360  120
3
oraz DOC  AOD  AOC , więc DOC  144  120  24 .
Zatem odcinek CD jest bokiem piętnastokąta foremnego wpisanego w okrąg. W sposobie
tym istotną rzeczą jest sprowadzenie konstrukcji kąta
1
 360  ,
5
1
 360  .
3
1
 360  do konstrukcji kątów
15
rys. 9
Metoda ogólna: Jeżeli liczby m, n są liczbami względem siebie pierwszymi i jeżeli
360  360 
,
umiemy skonstruować środkami (K) kąty
środkowe w danym okręgu, to
m
n
360
możemy też skonstruować tymi środkami kąt
środkowy w tym okręgu.
m n
Dowód konstruowalności kąta
360
środkowego opiera się na twierdzeniu z teorii
m n
liczb:
Jeżeli m i n są liczbami naturalnymi względnie pierwszymi, to można zawsze dobrać
takie dwie liczby całkowite p ,q, że mp+nq=1.
Zatem przy naszych założeniach mamy
360
360
360
 p
q
.
m n
n
m
Na przykład sposób konstrukcji kąta środkowego w danym okręgu równego
1
kąta
51
pełnego i tym samym 51-kąta foremnego wpisanego w ten okrąg, znajdziemy w drodze
następującego rozumowania: 51  3  17, 6  3  1  17  1 .
Zatem
360 
360
360 
360 
360 
 6 3
 117 
 6
 1
.
51
51
51
17
3
Aby zbudować kąt
360
środkowy w danym okręgu, skonstruujemy siedemnastokąt foremny
51
i trójkąt foremny wpisany w ten okrąg ( rys. 10).
rys. 10
Wówczas
BOC  6 
360
360 360
 1

,
17
3
51
a odcinek BC jest bokiem 51-kąta foremnego wpisanego w ten okrąg.
Konstrukcje, które przedstawiłam można pokazać na lekcjach jako ciekawostki
poszerzające wiedzę i umiejętności uczniów lub na zajęciach pozalekcyjnych. Nie
wymagają one znajomości zagadnień matematyki wyższej a są pięknym fragmentem
geometrii, która z moich obserwacji nie cieszy się u naszych uczniów dużym
zainteresowaniem.
Literatura:
1. Browkin J., „Wybrane zagadnienia algebry”
2. Bryński M., Włodarski L., „Konstrukcje geometryczne”, Biblioteczka DELTY,
3. Courant R., Robbins H., „Co to jest matematyka”,
4. Krygowska Z., „Konstrukcje geometryczne”,
5. Krygowska Z., „Matematyka elementarna z wyższego stanowiska”,
6. Krysicki W., Pisarewska H., Świątkowski T., „Z geometrią za pan brat”,
7. Sierpiński W., „Zasady algebry wyższej”