Równowaga sił w układzie mięśniowo szkieletowym człowieka w

Równowaga sił w układzie
mięśniowo szkieletowym
człowieka w warunkach statyki
Warszawa, 8 października 2009
Mechanika
• 1) Dział fizyki zajmujący się badaniem
równowagi, ruchu i oddziaływania ciał
• Siły są miarą oddziaływania ciał
• 1N jest to siła, która działając na ciało o
masie 1kg nadaje mu przyspieszenie 1 m/s2
• 2) Nauka o budowie, działaniu i
konstruowaniu maszyn oraz mechanizmów
Mechanika
(od greckiego mechané „maszyna”
Mechanika zajmuje się badaniem zmian ruchu
ciał, łącznie z odkształceniami, które można
traktować jako ruch względny jednych części
ciała względem drugich.
– Mechanika ciał makroskopowych to
mechanika klasyczna.
– Mechanika statystyczna bada ruch metodami
probabilistycznymi.
– Mechanika kwantowa bada ruch
mikroobiektów.
Mechanika
M. klasyczna – mechanika oparta na teorii
Newtona, badająca ruch makroskopowych ciał
materialnych
• M. relatywistyczna – mechanika uwzględniająca
w swoich badaniach elementy wynikające z
teorii względności
• M. kwantowa
• M. płynów
• M. nieba – dział astronomii badający ruch ciał
niebieskich
• M. techniczna dział nauki zajmujący się
konstruowaniem i budowaniem maszyn,
mechanizmów, aparatów
Prekursorzy
• Mechanika jako nauka ścisła powstała w Egipcie
w IV w p.n.e.
• Arystoteles (384-322 p.n.e.), Archytas z Tarentu
– maszyny proste
• Archimedes (287-212 p.n.e.) siły równoległe
teoria dźwigni
• Mikołaj Kopernik (1473-1543) układy
odniesienia
• Isaak Newton (1642-1727) „Philosophiae
naturalis principia mathematica”. 1687, Londyn –
podstawy mechaniki klasycznej opartej na
faktach doświadczalnych, prawa powszechnego
ciążenia i klasycznej dynamiki
Arystoteles
ur. 384 p.n.e. w Stagirus u wybrzeży Tracji, zm. 322 p.n.e. na wyspie Ebea
Traktaty: „Fizyka”, „O niebie”,
„Meteorologika”, „O powstawaniu
i ginięciu”, „Mechanika”, maszyny
proste
Archimedes
ur. 287 p.n.e. w Syrakuzach, zm. 212 p.n.e. w Syrakuzach
Wprowadzenie pojęcia dźwigni,
środka ciężkości brył
geometrycznych, siły wyporu
hydrostatycznego, zasady składania
sił równoległych,
Mikołaj Kopernik
ur. 19 lutego 1473 w Toruniu, zm. 24 maja 1543 we Fromborku
Zagadnienia układów odniesienia
w "De Revolutionibus Orbitum
Coelestium„ twórca zasady
równoważności ruchów
względnych w układzie
heliocentrycznym.
Galileo Galilei
ur. 1564 w Pizie, zm. 1642 koło Florencji
Wprowadził pojęcie
przyspieszenia, opracował
prawo bezwładności, prawa
ruchu w polu ciężkości, zasady
zachowania prac w maszynach
prostych, rozwiązał problem
wahadła etc.
Johannes Kepler
ur. 27 grudnia 1571 w Weil der Stadt, zm. 15 listopada 1630 w w Rtayzbonie
Prawa Keplera
1. Wszystkie planety poruszają się po elipsach,
przy czym słońce znajduje się w jednym z
ognisk każdej z tych elips.
2. Ruch po orbicie zachodzi w ten sposób, że
prędkość polowa każdej z planet jest stała.
3. Kwadraty czasów obiegu słońca przez dwie
planety maja się do siebie tak, jak sześciany
dużych półosi torów tych planet.
Sir Isaac Newton
ur. 4 stycznia 1643, w Woolsthorpe koło Colsterworth, w hrabstwie
Lincolnshire zm. 31 marca 1727 w Londynie
Sir Isaac Newton
• Angielski fizyk, matematyk, astronom, filozof,
historyk, badacz biblii, alchemik.
• Wykazał, że te same prawa rządzą ruchem ciał
na Ziemi jak i ruchem ciał niebieskich.
• Udowodnił, że orbity są nie tylko eliptyczne,
ale mogą być też hiperboliczne i paraboliczne.
• Odkrył korpuskularną naturę światła.
• Odkrył widmo barw światła białego.
• Rozwinął prawo stygnięcia.
• Sformułował twierdzenie o dwumianie.
• Opisał matematycznie zjawisko pływów
morskich.
• Był twórcą rachunku wariacyjnego.
II prawo dynamiki Newtona
dp
F
dt
W układach inercjalnych siła jest przyczyną zmian pędu
II prawo dynamiki Newtona
a – przyspieszenie środka masy układu ciał materialnych
F – wypadkowa siła zewnętrzna działająca na układ
m = const. – masa układu
Dla stałej masy układu ciał materialnych siła powoduje przyspieszenie
środka masy układu odwrotnie proporcjonalne do masy.
Prawo ciążenia powszechnego
Newtona
• Prawo ciążenia powszechnego zostało
sformułowane przez Newtona (1687) w wyniku
przeprowadzonej przez niego szczegółowej
analizy praw Keplera.
• Newton wykazał, że z praw Keplera wynika
istnienie siły ciężkości oraz rozwiązał zadanie
odwrotne.
Prawo ciążenia powszechnego
Newtona
m
m
r


G
F
r r
1
21
2
2
12
Stała grawitacji
G  6,6732  0,003110 m kg s
11
3
1 2
Stałą grawitacji wyznaczył po raz pierwszy Cavendish
w 1798, korzystając z wagi skrętnej.
Stała grawitacji jest stałą uniwersalną,
niezależną od rodzaju i wielkości oddziałujących ciał.
Jan Heweliusz
ur. 28 stycznia 1611 w Gdańsku, zm. 28 stycznia 1687 w Gdańsku, astronom
Jako pierwszy użył wahadła do
odmierzania czasu
Tarcza Sobieskiego
Mechanika Techniczna
• Mechanika techniczna:
»Mechanika ogólna (teoretyczna)
»Wytrzymałość
• Mechanika ogólna zajmuje się ustalaniem
ogólnych praw ruchu i równowagi ciał
materialnych oraz zastosowaniem tych
praw do pewnych wyidealizowanych
schematów ciał materialnych: punktu
materialnego, ciała doskonale sztywnego.
Mechanika ogólna
• Mechanika ogólna dzieli się na:
– Kinematykę (badanie ruchu bez wnikania
w jego przyczyny, bez uwzględniania
działających sił)
– Dynamikę (badanie działających sił),
która dzieli się na:
• Statykę: zajmuje się badaniem
równowagi sił
• Kinetykę: bada ruch ciał oraz siły
wywołujące go
Kinematyka
• a – stałe przyspieszenie
• V(t) = v0 + at
• X(t) = x0 + v0t +
2
½at
II zasada dynamiki Newtona
F
a
m
Zmiana pędu
•Π = Δp
• Popęd siły = Przyrost pędu
• Popęd siły to pole pod krzywą
siły zmieniającej się w czasie
(całka)
• Pęd = mv
Zasady statyki (aksjomaty)
• Zasada równoległoboku: Działanie dwóch sił F1 i F2 można
zastąpić działaniem jednej siły R
• Jeżeli do ciała przyłożone są dwie siły to równoważą się one
tylko wtedy, gdy mają tę samą linię działania, te same wartości i
przeciwne zwroty
• Skutek działania dowolnego układu sił przyłożonego do ciała
nie zmieni się jeżeli dodamy lub odejmiemy dowolny układ sił
równoważących się (układ zerowy)
• Jeżeli ciało odkształcalne znajduje się w równowadze pod
działaniem pewnego układu sił, to również pozostanie w
równowadze ciało doskonale sztywne (nieodkształcalne)
identyczne z poprzednim, pod działaniem tego samego układu
sił.
• Każdemu działaniu towarzyszy równe co do wartości o
przeciwnym zwrocie i leżące na tej samej prostej
przeciwdziałanie.
• Każde ciało nieswobodne można myślowo oswobodzić z
więzów, zastępując ich działanie reakcjami, a następnie
rozpatrywać jako ciało swobodne, znajdujące się pod
działaniem sił czynnych i biernych
Ruch
• Ruch – wzajemne przemieszczanie się w
przestrzeni, w miarę upływu czasu jednych
ciał względem innych
• Ruch jest względny
• Układ współrzędnych związany z ciałem
lub zbiorem ciał, względem których
opisujemy ruch innego ciała nazywamy
układem odniesienia
Modele, pojęcia podstawowe
• Opisując zjawiska fizyczne posługujemy się modelami:
• Punkt materialny – ciało którego wymiary można
pominąć w opisie ruchu
• Bryła sztywna – zbiór wielkiej liczby punktów
materialnych znajdujących się w stałej niezmiennej
odległości
• Tor ruchu – linia krzywa lub prosta po której odbywa
się ruch
• Droga s – długość toru (skalar)
• Δr – przemieszczenie (wektor)
• W postaci wektorowej kinematyczne równanie ruchu
jest zależnością określającą wektor położenia ciała
jako funkcję czasu r = r(t);
r = xi + yi + zj
• Eliminując czas otrzymujemy równanie toru
Siła bezwładności
•B = - am
• Siły B są wywołane przyspieszeniem układu
odniesienia a nie oddziaływaniem między ciałami
• Siły B działają na ciała tylko w nieinercjalnych
układach odniesienia
• Siły B zależą od masy, zawsze przeciwne do
przyspieszenia nieinercjalnego układu odniesienia
• Dla dowolnego układu ciał w nieinercjalnym układzie
odniesienia Siły B są siłami zewnętrznymi dlatego nie
są zachowane w tych układach zasada zachowania
energii i pędu
Moment siły
• Momentem siły F względem punktu 0
nazywamy odłożony z punktu 0 wektor M0
równy iloczynowi wektorowemu promienia
wektora r i wektora siły F ; M0 = r×F
M0
F
z
0
r
yy
x
Moment siły
B
M0
l
F
α
0
A
r
M0 = Frsinα = Fl
l – ramię działania siły
Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił
• Załóżmy, że na ciało sztywne działa dowolny
przestrzenny układ n sił Fi przyłożonych w różnych
punktach przestrzenia. Aby ten układ zredukować
przyjmujemy dowolny punkt 0 zwany środkiem
redukcji układu sił
• Korzystając z równoległego przesunięcia otrzymujemy
układ sił zbieżnych przyłożonych do punktu 0 oraz n
par sił o momentach Mi0
• Układ sił zbieżnych zastępujemy:
n
R   Fi
i 1
n
M 0   ri Fi
i 1
Równowaga przestrzennego
układu sił
• Przestrzenny układ n sił jest w równowadze,
jeżeli jego suma geometryczna R jest równa zeru
oraz moment M0 od tych sił względem dowolnego
punktu 0 jest równy zero
n
R   Fi  0
i 1
n
M 0   ri Fi  0
i 1
Równowaga przestrzennego
układu sił
• Dowolny przestrzenny układ sił Fi jest w równowadze,
jeżeli suma rzutów wszystkich sił na trzy osie układu
równa jest zeru i suma momentów sił względem trzech
osi układu jest równa zeru
n
 Fix  0
i 1
n
M
i 1
ix
0
n
F
i 1
iy
0
iy
0
n
M
i 1
n
F
i 1
iz
0
iz
0
n
M
i 1
Równowaga płaskiego układu sił
• Płaski dowolny układ sił znajduje się w
równowadze, jeżeli sumy rzutów wszystkich sił
na osie układu są równe zeru i moment
wszystkich sił względem dowolnego punktu
płaszczyzny działania sił jest równy zeru
n
F
i 1
ix
0
n
F
i 1
iy
0
n
M
i 1
i0
0
Środek masy (Środek ciężkości)
• Środek masy dwóch punktów materialnych
mB
mA
a
mAa = mBb
Dźwignie
• Dźwignia jest to sztywna belka,
mogąca obracać się dookoła osi 0
F1
0
Fn
n
Belka jest w równowadze jeżeli suma
momentów sił względem punktu 0 jest
równa 0:
M

0
 k
k 1
Dźwignie
b
Q
0
0
a
a
P
Dźwignia jednostronna
b
Q
P
Dźwignia dwustronna
Pa – Qb = 0; czyli Pa = Qb
Jeżeli P jest siłą z jaką działamy,
a Q siła którą pokonujemy to zysk mechaniczny Z:
Q
Z
P