Ponieważ sprawność silnika Carnota

Wykład 7
Silniki cieplne; alternatywne sformułowanie II
zasady termodynamiki
Silnik Carnota
Sprawność silnika odwracalnego na przykładzie
silnika Carnota
Silnik Stirlinga
Silnik odwracalny, a bezwzględna temperatura
termodynamiczna
Chłodziarka Carnota
Różne sformułowania II zasady termodynamiki
Podsumowanie zasad termodynamiki
1
Silniki cieplne
W
T1
Q1
komora
robocza
grzejnik
Q2
T2
chłodnica
Typowy silnik cieplny: grzejnik, komora
robocza (substancja robocza) i
chłodnica. Proces cykliczny. Z pierwszej
zasady termodynamiki:
W  Q1  Q2
Silnik wytwarzający większą pracę W (W > Q1 – Q2) to perpetuum mobile I rodzaju.
Silnik doskonały, o maksymalnej wydajności dozwolonej
przez I zasadę, przetwarzałby całe ciepło Q1 (QH) pobrane z
grzejnika na pracę W (= QH). Ciepło Q2 (QL) byłoby równe
zero i chłodnica nie byłaby potrzebna. Silnik taki stanowiłby
perpetuum mobile II rodzaju.
Praca otrzymana z takiego silnika mogłaby być
wykorzystana do podwyższenia temperatury innego źródła
ciepła, nawet o wyższej temperaturze niż grzejnik.
Copyright 2005 John Wiley and Sons, Inc
W rezultacie silnik taki umożliwiałby przekazanie ciepła ze zbiornika ciepła o niższej
temperaturze do zbiornika ciepła o wyższej temperaturze bez dodatkowej włożonej
pracy, co byłoby sprzeczne z II zasadą termodynamiki i doświadczeniem.
2
Wniosek:
Niemożliwe jest zbudowanie silnika cieplnego wytwarzającego pracę i pracującego w
obiegu zamkniętym, który pobierałby ciepło z jednego źródła ciepła i nie oddawał
ciepła do źrodła ciepła o niższej temperaturze.
Jest to alternatywne sformułowanie II zasady termodynamiki.
Nasuwa się pytanie: jaka jest (być musi) dolna granica na ciepło przekazane do
chłodnicy?
Granica ta będzie decydować o wydajności (sprawności) silnika.
Udowodnimy, że najwydajniejszym silnikiem cieplnym jest silnik odwracalny.
Silnik odwracalny to taki silnik, w którym
wszystkie przemiany tworzące cykl roboczy są
odwracalne.
Różnice temperatur pomiędzy grzejnikiem i
komorą roboczą, a także pomiędzy komorą
roboczą i chłodnicą muszą być bardzo niewielkie,
tak, żeby można było łatwo odwrócić kierunek
przepływu ciepła.
Copyright © 1963, California Institute of Technology,
Polish translation by permission of Addison-Wesley
Publishing Company, Inc., Reading, Mass, USA
3
Copyright © 1963, California Institute of Technology,
Polish translation by permission of Addison-Wesley
Publishing Company, Inc., Reading, Mass, USA
Niech silnik B będzie dowolnym silnikiem
cieplnym pobierającym z grzejnika ciepło Q1,
wykonującym pracę W’ i oddającym do
chłodnicy ciepło Q2 (Q2 = Q1 – W’).
Gdyby silnik B był sprawniejszy niż silnik
odwracalny A, pobierający z grzejnika ciepło Q1,
wykonujący pracę W i oddający do chłodnicy
ciepło Q2 (Q2 = Q1 – W, W < W’) to tandem A + B
pokazany na rysunku, gdzie silnik A pracuje
wstecz kosztem silnika B, byłby efektywnie
silnikiem wykonującym pracę W’ – W kosztem
ciepła Q2 = W’ – W pobranego z chłodnicy przy
biernym udziale grzejnika. Grzejnik można
potraktować jako wewnętrzną część złożonego silnika A + B.
Przeczy to II zasadzie termodynamiki.
Wniosek:
Sprawność dowolnego silnika cieplnego może być co najwyżej równa sprawności
silnika odwracalnego. Sprawność wszystkich silników odwracalnych jest taka sama.
(Silnik odwracalny o wyższej lub niższej sprawności nie byłby zgodny z II zasadą
4
termodynamiki).
Copyright © 1963, California Institute of Technology
Silnik Carnota
N.L. Sadi Carnot 1824
Silnik odwracalny, w którym substancją roboczą jest
gaz doskonały. Nie ma tarcia, strat itd.
Przemiany w cyklu Carnota:
1. Izotermiczne rozprężanie gazu. Gaz pobiera ciepło
Q1 z grzejnika utrzymując stałą temperaturę T1 i
wykonuje pracę przesuwając tłok.
2. Adiabatyczne rozprężanie gazu. Gaz wykonuje
pracę kosztem energii wewnętrznej. Temperatura
spada do T2.
3. Izotermiczne sprężanie gazu kosztem pracy
zewnętrznej. Nadwyżka ciepła (temperatura jest stała
i wynosi T2) jest odprowadzana do chłodnicy.
4. Adiabatyczne sprężanie gazu kosztem pracy
zewnętrznej. Temperatura gazu i jego energia
wewnętrzna rośnie do T1.
5
Copyright © 1963, California Institute of Technology,
Polish translation by permission of Addison-Wesley
Publishing Company, Inc., Reading, Mass, USA
Przemiany w cyklu Carnota na
diagramie p-V:
1. Izotermiczne rozprężanie gazu. Gaz
pobiera ciepło Q1 z grzejnika utrzymując
stałą temperaturę T1 i wykonuje pracę
przesuwając tłok.
2. Adiabatyczne rozprężanie gazu. Gaz
wykonuje pracę kosztem energii
wewnętrznej. Temperatura spada do T2.
3. Izotermiczne sprężanie gazu kosztem
pracy zewnętrznej. Nadwyżka ciepła
(temperatura jest stała i wynosi T2) jest
odprowadzana do chłodnicy.
4. Adiabatyczne sprężanie gazu kosztem
pracy zewnętrznej. Temperatura gazu i
jego energia wewnętrzna rośnie do T1.
6
Copyright © 1963, California Institute of Technology,
Polish translation by permission of Addison-Wesley
Publishing Company, Inc., Reading, Mass, USA
Silnik wykonuje pracę przesuwając tłok
podczas suwu 1 i 2. Otoczenie wykonuje
pracę sprężając gaz w komorze roboczej
podczas suwu 3 i 4. Praca użyteczna jest
równa polu powierzchni pokazanemu na
rysunku.
Silnik pobiera ciepło Q1 podczas suwu 1,
oddaje ciepło Q2 podczas suwu 3.
Q1 
Q2 
Vb
Vb
Va
Va
Vc
Vc
Vd
Vd
 pdV 
 pdV 


V
NkT1
dV  NkT1 ln b
V
Va
V
NkT2
dV  NkT2 ln c
V
Vd
Ponieważ sprawność silnika Carnota:

W Q1  Q2
Q

 1 2
Q1
Q1
Q1
7
Copyright © 1963, California Institute of Technology,
Polish translation by permission of Addison-Wesley
Publishing Company, Inc., Reading, Mass, USA
zależy tylko od stosunku Q2/Q1 musimy
znaleźć związki łączące objętości Va, Vb, Vc i
Vd. Ponieważ dla przemiany adiabatycznej:
pV   const;
mamy także:
NkT 
V  const; czyli
V
TV  1  const
T1Vb 1  T2 Vc 1
T1Va 1  T2 Vd 1
Po podzieleniu stronami:
V
Q1  NkT1 ln b
Va
V
Q 2  NkT2 ln c
Vd
Vb Vc

Va Vd
Q2 T2
T

 Q2  Q1 2
Q1 T1
T1
8
Sprawność silnika odwracalnego na przykładzie silnika
Carnota
Sprawność silnika Carnota (zatem każdego silnika odwracalnego) będzie:
W Q1  Q2
Q2
T2 T1  T2


 1
 1

Q1
Q1
Q1
T1
T1
gdzie T1 jest temperaturą grzejnika, a T2 temperaturą chłodnicy.
Związek pomiędzy Q1 i Q2, podobnie jak wzór na sprawność, musi być słuszny dla
każdego silnika odwracalnego:
Q 2 T2

Q1 T1
T
 Q 2  Q1 2
T1
Ponieważ ciepło Q2 przekazane gazowi podczas sprężania izotermicznego jest w
rzeczywistości ujemne, mamy:
W odwracalnym cyklu zamkniętym entropia
Q1
Q
Q1 Q2
jest zachowana (nie zmienia się):
  2 albo

0
T1
T2
T1
T2
S  0
9
Można to traktować jako przypadek specjalny bardziej ogólnego sformułowania:
b
d
a
c
dQ
dQ
dQ
 T  T  T 0
które mówi, że entropia dla obiegu (cyklu) odwracalnego nie zmienia się.
Silnik Carnota
Copyright 2005 John Wiley and Sons, Inc
Obieg Carnota na diagramie p-V
Copyright 2005 John Wiley and Sons, Inc
10
Obieg Carnota na diagramie T – S
Dla przemian a-b i c-d temperatura jest stała,
zmienia się entropia. Dla przemian b-c i d-a entropia
jest stała, zmienia się temperatura.
Pole pod krzywą to ciepło:
Q  ST
Copyright 2005 John Wiley and Sons, Inc
Silnik Stirlinga (R. Stirling, 1816)
Rysunek przedstawia cykl przemian w silniku
Stirlinga. Przyjęto, że substancją roboczą jest gaz
doskonały. Układ wymienia ciepło z otoczeniem
(grzejnik TH i chłodnica TL), a także wykonuje bądź
absorbuje pracę, podczas przemian izotermicznych
(tak jak w silniku Carnota). Dwie przemiany
zamykające cykl to przemiany izochoryczne.
Zewnętrzne źródło ciepła; produkty spalania nie
mieszają się z substancją roboczą. Nowe zastosowania.
http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_engine
Copyright 2005 John Wiley and Sons, Inc
11
Sprawdzian
Trzy silniki Carnota współpracują ze zbiornikami cieplnymi o temperaturach: a) 400 i
500 K, b) 600 i 800 K, c) 400 i 600 K. Uszereguj te silniki według ich sprawności,
zaczynając od największej wartości.
Zadanie 1
Silnik Carnota pracuje ze zbiornikami ciepła o temperaturach T1 = 850 K i T2 = 300 K.
W każdym cyklu, który trwa 0,25 s, silnik wykonuje pracę równą 1200 J.
a) Ile wynosi sprawność tego silnika?
b) Ile wynosi średnia moc tego silnika?
c) Ile ciepła Q1 jest pobierane w każdym cyklu ze zbiornika o wyższej temperaturze?
d) Jaka energia Q2 jest odprowadzana w każdym cyklu do zbiornika o niższej
temperaturze?
e) Ile wynosi zmiana entropii substancji roboczej związana z pobraniem przez nią
energii w postaci ciepła ze zbiornika o wyższej temperaturze? Ile wynosi zmiana
entropii wynikająca z oddania energii w postaci ciepła do zbiornika o niższej
temperaturze?
12
Przypomnienie
Ciepło to energia przekazywana przez jedno
ciało drugiemu w wyniku różnicy temperatur
między tymi ciałami
Praca to energia przekazywana przez jedno ciało
drugiemu za pośrednictwem siły działającej
między tymi ciałami
13
Silnik odwracalny, a bezwzględna temperatura termodynamiczna
Dwa silniki, silnik 2 i pracujący odwrotnie
silnik 3 są równoważne silnikowi 1.
Dla dowolnego silnika pracującego
pomiędzy T1 i T2 możemy wyrazić ciepło
pobrane Q1 poprzez ciepło Q3 wydzielone
w niższej temperaturze odniesienia, tutaj
T3.
Temperaturę odniesienia definiujemy
jako 1°, a ciepło wydzielone w tej
temperaturze oznaczymy QS. Q1 rośnie z
temperaturą i jest proporcjonalne do QS.
T1
Q1
Q2
T2
Q1
W12
1
W13
2
Q2
Q3
(QS)
3
W32
Q3
T3
(1°)
Ciepło pobrane Q:
Q  S  T; gdzie Qs  S  1
jest ciepłem przekazanym chłodnicy o
temperaturze 1°.
Definicja temperatury termodynamicznej
14
T
Q = ST
W = Q – S.1°
Dla silnika odwracalnego pracującego pomiędzy
temperaturami T1 i T2 i wydzielającego ciepło QS do
zbiornika o temperaturze jednostkowej:
Qs = S.1°
1°
gdzie
S = QS/1°
Temperaturę termodynamiczną obiektu określamy
obliczając, ile ciepła pochłonie silnik odwracalny
pracujący pomiędzy źródłem ciepła o temperaturze
równej temperaturze tego obiektu i chłodnicą o
temperaturze jednostkowej. Ciepło to porównujemy
do ciepła oddanego przez silnik do chłodnicy o
temperaturze jednostkowej.
Q1  S  T1
mamy:
Q1
Q
S 2
T1
T2
sprawność tego silnika odwracalnego wyniesie:
i
Q2  S  T2
a ponieważ:

W  Q1  Q2
W Q1  Q2 T1  T2


Q1
Q1
T1
Otrzymujemy ten sam wynik co poprzednio, co dowodzi, że obie skale temperatur,
kinetyczna i termodynamiczna, są identyczne.
15
Chłodziarka Carnota
Chłodziarka Carnota, silnik Carnota pracujący w cyklu
odwrotnym. Chłodziarka pobiera ciepło QL (Q2) ze źródła
o niższej temperaturze przekazując do źródła o wyższej
temperaturze ciepło QH (Q1). Wykonanie pełnego cyklu
wymaga także pracy zewnętrznej W.
Wydajność chłodziarki Carnota:
K
QL
QL
TL


W
Q H  QL TH  TL
Copyright 2005 John Wiley and Sons, Inc
Copyright 2005 John Wiley and Sons, Inc
Chłodziarka doskonała; W = 0, QH = QL = Q sprzeczna z II
zasadą termodynamiki (przekaz ciepła ze źródła zimnego do
gorącego). A także entropia substancji roboczej w cyklu nie
zmienia się, a zmiana entropii zbiorników ciepła:
Q
Q
ponieważ: TH  TL
S  

TH TL
więc
S  0
16
Sprawdzian
Chcemy zwiększyć współczynnik wydajności chłodziarki. Czy możemy to osiągnąć:
a) podnosząc nieco temperaturę komory chłodniczej, b) obniżając nieco
temperaturę komory chłodniczej, c) przenosząc chłodziarkę do cieplejszego
pomieszczenia, d) przenosząc chłodziarkę do chłodniejszego pomieszczenia.
Załóżmy, że każda z tych operacji wiąże się z taką samą bezwzględną zmianą
temperatury. Uszereguj te operacje według współczynnika wydajności, zaczynając
od jego największej wartości.
Zadanie 2
Silnik elektryczny napędza pompę cieplną, która przekazuje ciepło z zewnątrz
budynku, gdzie panuje temperatura -5°C, do pomieszczenia, w którym jest 17°C.
Załóż, że pompa cieplna jest pompą cieplną Carnota (pracuje w cyklu odwrotnym
Carnota). Ile dżuli ciepła doprowadzonego do pokoju przypada na każdy dżul
zużytej energii elektrycznej?
17
Różne sformułowania II zasady termodynamiki
1.
S. Carnot: silnik cieplny nie może pracować nie pobierając ciepła
ze źródła o wyższej temperaturze i nie oddając go do źródła o
niższej temperaturze
2.
W. Ostwald: perpetuum mobile II rodzaju jest niemożliwe do
zrealizowania
3.
M. Planck: niemożliwe jest skonstruowanie działającego
periodycznie silnika, którego działanie polegałoby tylko na
podnoszeniu ciężarów i równoczesnym ochładzaniu jednego
źródła ciepła
4.
R. Claussius: ciepło nie może samorzutnie przejść od ciała o
temperaturze niższej do ciała o temperaturze wyższej
5.
E. Schmidt: nie można całkowicie odwrócić przemiany, w której
występuje tarcie
18
Podsumowanie zasad termodynamiki
Pierwsza zasada:
Ciepło dostarczone do układu + praca wykonana nad układem = przyrost energii
wewnętrznej układu:
dQ  dW  dU
Druga zasada:
Nie istnieje proces, którego jedynym rezultatem byłoby pobranie ciepła ze zbiornika
i zamiana go na pracę. Nie ma silnika cieplnego pochłaniającego ciepło Q1 w
temperaturze T1 i dającego przy tym więcej pracy niż silnik odwracalny, dla
którego:
T1  T2
W  Q1  Q 2  Q1
T1
Entropię układu określamy w następujący sposób:
a) Jeżeli ciepło ΔQ jest dostarczone do układu w temperaturze T, to przyrost
entropii układu wynosi ΔS = ΔQ/T.
b) W temperaturze T = 0, S = 0 (trzecia zasada).
Podczas zmian odwracalnych całkowita entropia układu wszystkich części układu
(włączając zbiorniki ciepła) nie ulega zmianie.
Podczas zmian nieodwracalnych całkowita entropia układu zawsze wzrasta.
19